2014届江苏省苏州市高三暑假自主学习测试理科数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合，，则         .

2. 难度：简单

设，向量且，则=           ．

3. 难度：中等

设复数满足(为虚数单位），则=       .．

4. 难度：简单

若，则的最小值为        ．

5. 难度：简单

样本数据18，16，15，16，20的方差＝          .

6. 难度：简单

已知双曲线的离心率为2，则的值为 ___ ___．

7. 难度：简单

根据如图所示的伪代码，最后输出的的值为___ ___.　

8. 难度：简单

已知函数,其中是取自集合的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为_____．

9. 难度：中等

已知实数满足不等式组，则的最大值是      ．

10. 难度：简单

已知函数，则满足的的取值范围是______．

11. 难度：中等

如图，在直四棱柱中，点分别在上，且，，点到的距离之比为，则三棱锥和的体积比         .

12. 难度：简单

已知是直线上一动点，是圆的两条切线，切点分别为．若四边形的最小面积为2，则=         ．

13. 难度：简单

已知函数和的图象的对称轴完全相同，则的值是      ．

14. 难度：简单

已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为______.

二、解答题

15. 难度：简单

已知向量，，，其中为的内角．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，且，求的长．

16. 难度：中等

如图，四棱锥的底面为矩形，，，分别是的中点，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面平面．

17. 难度：中等

设数列的前项和为，对任意满足，且．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

18. 难度：中等

如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排，在路南侧沿直线排，现要在矩形区域内沿直线将与接通．已知，，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的部分的排管费用为每米2万元，设与所成的小于的角为．

（Ⅰ）求矩形区域内的排管费用关于的函数关系式；

（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角．

19. 难度：困难

已知椭圆的长轴两端点分别为，是椭圆上的动点，以为一边在轴下方作矩形，使，交于点，交于点．

（Ⅰ）如图（1），若，且为椭圆上顶点时，的面积为12，点到直线的距离为，求椭圆的方程；

（Ⅱ）如图（2），若，试证明：成等比数列．

20. 难度：中等

对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．

（Ⅰ）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；

（Ⅱ）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．

21. 难度：中等

已知：如图，点在上，，平分，交于点．求证：为等腰直角三角形．

22. 难度：简单

已知矩阵，，求矩阵

23. 难度：中等

已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．试求曲线和的直角坐标方程，并判断两曲线的位置关系．

24. 难度：简单

设实数满足，求证：．

25. 难度：简单

在平面直角坐标系中，已知曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等．

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）设，是轴上的两点，过点分别作轴的垂线，与曲线分别交于点，直线与x轴交于点，这样就称确定了．同样，可由确定了．现已知，求的值．

26. 难度：中等

设为实数，我们称为有序实数对．类似地，设为集合，我们称为有序三元组．如果集合满足，且，则我们称有序三元组为最小相交（表示集合中的元素的个数）．

（Ⅰ）请写出一个最小相交的有序三元组，并说明理由；

（Ⅱ）由集合的子集构成的所有有序三元组中，令为最小相交的有序三元组的个数，求的值．