2006-2007学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合S=R，A={x|x²-2x-3≤0}，B={x||x-2|＜2}，那么集合∁_R（A∩B）等于（ ）
A．{x|0＜x≤3}
B．{x|-1≤x＜2}
C．{x|x≤0，或x＞3}
D．{x|x＜-1，或x≥2}

2. 难度：中等

在空间中，有如下四个命题：
①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；
②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；
③若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，则α∥β；
④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直．
其中正确的两个命题是（ ）
A．①、③
B．②、④
C．①、④
D．②、③

3. 难度：中等

将函数y=log₂x的图象按向量平移后，得到的图象，则（ ）
A．=（1，2）
B．=（1，-2）
C．=（-1，2）
D．=（-1，-2）

4. 难度：中等

在的展开式中x²的系数是（ ）
A．240
B．15
C．-15
D．-240

5. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和是S_n，且a₁=10，a₂=9，那么下列不等式中成立的是（ ）
A．a₁₀-a₁₁＜0
B．a₂₀-a₂₂＜0
C．S₂₀-S₂₁＜0
D．S₄₀+a₄₁＜0

6. 难度：中等

已知函数上是减函数，则ω的取值范围是（ ）
A．
B．[-3，0）
C．
D．（0，3]

7. 难度：中等

在1，2，3，4，5这五个数字所组成的允许有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有（ ）
A．16个
B．18个
C．19个
D．21个

8. 难度：中等

已知定点A（2，0），圆O的方程为x²+y²=8，动点M在圆O上，那么∠OMA的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

已知向量a=（-2，1），b=（0，1），若存在实数λ使得b⊥（λa+b），则λ等于   

10. 难度：中等

椭圆为参数）的标准方程是    ，它的一个焦点到其相应准线的距离是    ．

11. 难度：中等

已知点P（x，y）的坐标满足条件那么z=x-y的取值范围是    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，∠A=60°，AC=1，△ABC的面积为，则BC的长为     ．

13. 难度：中等

过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=3，则球的半径是    ．

14. 难度：中等

已知二次函数f（x）的二次项系数a，且不等式f（x）＞-x的解集为（1，2），若f（x）的最大值为正数，则a的取值范围是   

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）求f（x）的值域；
（Ⅲ）设α的锐角，且f（α）的值．

16. 难度：中等

在一天内甲、乙、丙三台设备是否需要维护相互之间没有影响，且甲、乙、丙在一天内不需要维护的概率依次为0.9、0.8、0.85．则在一天内
（I）三台设备都需要维护的概率是多少？
（II）恰有一台设备需要维护的概率是多少？
（III）至少有一台设备需要维护的概率是多少？

17. 难度：中等

设a＞1，函数f（x）=a^x+1-2．
（1）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）若f^-1（x）在[0，1]上的最大值与最小值互为相反数，求a的值；
（3）若f^-1（x）的图象不经过第二象限，求a的取值范围．

18. 难度：中等

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，则棱长为3，底面边长为2，E是棱BC的中点．
（Ⅰ）求证：BD₁∥平面C₁DE；
（Ⅱ）求二面角C₁-DE-C的大小；
（Ⅲ）在侧棱BB₁上是否存在点P，使得CP⊥平面C₁DE？证明你的结论．

19. 难度：中等

设a＞0，定点F（a，0），直线l：x=-a交x轴于点H，点B是l上的动点，过点B垂直于l的直线与线段BF的垂直平分线交于点M．
（I）求点M的轨迹C的方程；
（II）设直线BF与曲线C交于P，Q两点，证明：向量、与的夹角相等．

20. 难度：中等

对于数列{a_n}，定义数列{a_n+1-a_n}为{a_n}的“差数列”．
（I）若{a_n}的“差数列”是一个公差不为零的等差数列，试写出{a_n}的一个通项公式；
（II）若a₁=2，{a_n}的“差数列”的通项为2ⁿ，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（III）对于（II）中的数列{a_n}，若数列{b_n}满足a_nb_nb_n+1=-21•2⁸（n∈N^*），且b₄=-7．
求：①数列{b_n}的通项公式；②当数列{b_n}前n项的积最大时n的值．