2009-2010学年黑龙江省牡丹江一中高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

曲线f（x）=lnx+2x在点（1，f（1））处的切线方程是（ ）
A．3x-y+1=0
B．3x-y-1=0
C．3x+y-1=0
D．3x-y-5=0

2. 难度：中等

在下列命题中：①若两个非零向量和共线，则所在的直线平行；②若所在的直线是异面直线，则一定不共面；③若三向量两两共面，则c三直线一定也共面；其中正确命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

3. 难度：中等

已知边长为6的正方形ABCD和正方形ADEF所在平面互相垂直，O是BE中点，，则线段OM的长度为（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知函数f′（x）是函数f（x）的导函数，g′（x）是函数g（x）的导函数，，g（x）=bx²-b²x，对于任意的a，b∈R，f′（a）与g′（a）的大小关系（ ）
A．f′（a）=g′（a）
B．f′（a）＜g′（a）
C．f′（a）＞g′（a）
D．不能确定

5. 难度：中等

已知M和N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，且，若=a，=b，=c，则用a，b，c表示为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

函数（ ）（e是自然对数的底数）
A．在（0，e）上是减函数
B．在（0，+∞）上是增函数
C．在（e，+∞）上是减函数
D．在（0，+∞）上是减函数

8. 难度：中等

如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点E是棱AB的中点，点F（0，y，z）是正方体的面AA₁D₁D上点，且CF⊥B₁E，则点F（0，y，z）满足方程（ ）

A．y-z=0
B．2y-z-1=0
C．2y-z-2=0
D．z-1=0

9. 难度：中等

函数f（x）=x•e^x的最小值是（ ）
A．-1
B．
C．
D．e

10. 难度：中等

下列不等式对任意的x∈（0，+∞）恒成立的是（ ）
A．e^x＞e
B．x-x²＞0
C．sinx＞-x+1
D．x＞ln（1+x）

11. 难度：中等

如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥AB，M是EC的中点，则直线DM与平面ABCD所成角的正弦值是（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知函数在区间（0，1）上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，2）
B．[0，1）
C．（0，+∞）
D．（2，+∞）

二、填空题

13. 难度：中等

    ．

14. 难度：中等

函数f（x）=ae^x+x在x=1处取到极值，则a的值为    （e是自然对数的底数）

15. 难度：中等

已知P（-2，0，2），Q（-1，1，2），R（-3，0，4），设=，=，实数k使得k+与=（2，1，-2）垂直，则k的值为    ．

16. 难度：中等

通过类比长方形，由命题“周长为定值l的长方形中，正方形的面积最大，最大值为”，可猜想关于长方体的相应命题为   

三、解答题

17. 难度：中等

已知0＜b＜4，a∈R，求证：a²+b＞ab

18. 难度：中等

如图，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面为正方形的长方体，∠AD₁A₁=60°，AD₁=4，P为AD₁的中点，（1）求证：直线C₁P∥平面AB₁C；（2）求异面直线AA₁与B₁P所成角的余弦值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³-3x²+1-（a∈R且a≠0），试求函数f（x）的极大值与极小值．

20. 难度：中等

如图，PD是圆柱的母线，AC和BD是圆柱底面圆的互相垂直的两条直径，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F（1）求证：PB⊥平面EFD；（2）求二面角C-PB-D的大小．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（e^x+1）-ax（a＞0）．（e是自然对数的底数）
（1）若函数y=f（x）的导函数是奇函数，求a的值；
（2）试讨论函数f（x）的单调性．

22. 难度：中等

已知函数h（x）=x²，φ（x）=2elnx（其中e是自然对数的底数）．
（1）判断函数F（x）=h（x）-φ（x）的零点个数并证明你的结论；
（2）证明：当x＞0时，φ（x）图象不可能在直线的上方．