2009-2010学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，|x|≥0，那么命题¬p为（ ）
A．∃x∈R，|x|≤0
B．∀x∈R，|x|≤0
C．∃x∈R，|x|＜0
D．∀x∈R，|x|＜0

3. 难度：中等

已知圆的方程为x²+y²-2x+6y+8=0，那么该圆的一条直径所在直线的方程为（ ）
A．2x-y+1=0
B．2x-y-1=0
C．2x+y+1=0
D．2x+y-1=0

4. 难度：中等

已知幂函数f（x）的图象经过点（2，4），那么f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）=2
B．f（x）=x²
C．f（x）=2^x
D．f（x）=x+2

5. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a₁=2，，若a_k=2^-15，则k等于（ ）
A．9
B．10
C．16
D．17

6. 难度：中等

一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，bc=5，则△ABC的面积等于（ ）
A．
B．4
C．
D．2

8. 难度：中等

设集合S={A，A₁，A₂，A₃，A₄}，在S上定义运算⊙为：A_i⊙A_j=A_k，其中k=|i-j|，i，j=0，1，2，3，4．那么满足条件（A_i⊙A_j）⊙A₂=A₁（A_i，A_j∈S）的有序数对（i，j）共有（ ）
A．12个
B．8个
C．6个
D．4个

二、填空题

9. 难度：中等

甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示如下，则平均成绩高的同学是    ．

10. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的结果S=    ．

11. 难度：中等

若向量、的夹角为30°，，=2，则=    ；|+|=    ．

12. 难度：中等

已知tanα=cosα，那么sinα=    ．

13. 难度：中等

设函数若f（x）＜1，则x的取值范围是    ．

14. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₄≥8，a₅≤10，则S₆的最小值为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求f（x）的最大值及单调递增区间．

16. 难度：中等

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，∠BAC=90°，M，N分别是A₁B₁，BC的中点．
（Ⅰ）证明：AB⊥AC₁；
（Ⅱ）判断直线MN和平面ACC₁A₁的位置关系，并加以证明．

17. 难度：中等

设a∈R，函数f（x）=2x³+（6-3a）x²-12ax+2．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-2，2]上的最小值．

18. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，设不等式组所表示的平面区域是W，从区域W中随机取点M（x，y）．
（Ⅰ）若x，y∈Z，求点M位于第一象限的概率；
（Ⅱ）若x，y∈R，求|OM|≤2的概率．

19. 难度：中等

已知F₁（-2，0），F₂（2，0）两点，曲线C上的动点P满足．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若直线l经过点M（0，3），交曲线C于A，B两点，且，求直线l的方程．

20. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=a，，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若a_n+1=a_n，求a的值；
（Ⅱ）当时，证明：；
（Ⅲ）设数列{a_n-1}的前n项之积为T_n．若对任意正整数n，总有（a_n+1）T_n≤6成立，求a的取值范围．