2009-2010学年数学寒假作业（02）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

集合A={3，2^a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则A∪B=    ．

2. 难度：中等

“x＞1”是“x²＞x”的    条件．

3. 难度：中等

在△ABC中，如果（a+b+c）•（b+c-a）=3bc，则角A等于    ．

4. 难度：中等

已知平面内三点A（2，-3），B（4，3），C（5，a）共线，则a=   

5. 难度：中等

已知F₁、F₂为椭圆+=1的两个焦点，过F₁的直线交椭圆于A、B两点．若|F₂A|+|F₂B|=12，则|AB|=    ．

6. 难度：中等

设双曲线-=1的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为    ．

7. 难度：中等

已知t为常数，函数y=|x²-2x-t|在区间[0，3]上的最大值为2，则t=    ．

8. 难度：中等

已知点P在抛物线y²=4x上，那么点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为    ．

9. 难度：中等

如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于    ．

10. 难度：中等

定义：区间[x₁，x₂]（x₁＜x₂）的长度为x₂-x₁．已知函数y=|log_0.5x|定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度的最大值为    ．

11. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD中点，AE的延长线与CD交于点F．若，，则=    ．

12. 难度：中等

，设{a_n}是正项数列，其前n项和S_n满足：4S_n=（a_n-1）（a_n+3），则数列{a_n}的通项公式a_n=    ．

13. 难度：中等

若从点O所作的两条射线OM，ON上分别有点M₁，M₂与点N₁，N₂，则三角形面积之比为：．若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP，OQ和OR上分别有点P₁，P₂与点Q₁，Q₂和R₁，R₂，则类似的结论为：    ．

14. 难度：中等

某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知向量，，．
（1）若，求θ；
（2）求的最大值．

16. 难度：中等

某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
（Ⅰ）求这条抛物线的解析式；
（Ⅱ）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（Ⅰ）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？并通过计算．

17. 难度：中等

如图A，B是单位圆O上的点，且B在第二象限． C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为，△AOB为正三角形．
（Ⅰ）求cos∠COB；
（Ⅱ）求|BC|²的值．