2009-2010学年辽宁省沈阳二中高一（下）期中数学试卷（必修4）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若-2x+3x-2＞0，则+2|x-2|等于（ ）
A．4x-5
B．-3
C．3
D．5-4

2. 难度：中等

若1弧度的圆心角所对的弦长等于2，则这圆心角所对的弧长等于（ ）
A．sin
B．
C．
D．2sin

3. 难度：中等

P₁（2，-1），P₂（0，5），且P在P₁P₂的延长线上，使||=2||，则点P为（ ）
A．（2，11）
B．（，3）
C．（，3）
D．（2，-7）

4. 难度：中等

下列命题中，不正确的是（ ）
A．||=
B．λ=•（）
C．（-）=-
D．与共线⇔•=||•||

5. 难度：中等

点O是△ABC内一点，若+=-，则是S_△AOB：S_△AOC=（ ）
A．1
B．1/2
C．1/3
D．1/4

6. 难度：中等

为了得到函数，x∈R的图象，只需把函数y=2sinx，x∈R的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变）
B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

7. 难度：中等

已知||=3，||=4，且（+k）⊥（-k），则k等于（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知x²+y²=1，则（1-xy）（1+xy）有（ ）
A．最大值，最小值1
B．最大值1，最小值
C．最小值，无最大值
D．最大值1，无最小值

9. 难度：中等

平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（ ）
A．
B．
C．4
D．12

10. 难度：中等

不等式（1+x）（1-|x|）＞0的解集是（ ）
A．{x|0≤x＜1}
B．{x|x＜0且x≠-1}
C．{x|-1＜x＜1}
D．{x|x＜1且x≠-1}

11. 难度：中等

已知O、A、M、B为平面上四点，且，则（ ）
A．点M在线段AB上
B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上
D．O、A、M、B四点一定共线

12. 难度：中等

为了使y=sinωx（ω＞0）在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是（ ）
A．98π
B．
C．
D．100π

二、填空题

13. 难度：中等

若向量=（2，-x）与=（x，-8）共线且方向相反，则x=    ．

14. 难度：中等

已知=（5，4），=（3，2），则与2-3同向的单位向量为     ．

15. 难度：中等

若直线l的倾斜角记为θ，直线l的斜率为a（a＜0），则θ=    （利用a的反三角函数值表示）

16. 难度：中等

设x，y满足条件，若目标函数z=ax+y（其中a为常数）仅在（3，1）处取得最大值，则a的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°．且||=1，||=1，||=2，若+，求λ+μ的值．

18. 难度：中等

已知点A（1，0），B（0，1），C（2，sinθ）
（1）若||=||，求sinθ的值
（2）若（+）•=，其中O为坐标原点，且0＜θ＜π，求tanθ的值．

19. 难度：中等

已知O为△ABC的外心，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．
（1）若，试用表示；
（2）证明：；
（3）若△ABC的∠A=60°，∠B=45°，外接圆的半径为R，用R表示．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象在y轴上的截距为1，在相邻最值点（x，2），[x+，-2]（x＞0）上f（x）分别取得最大值和最小值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求方程f（x）=a存在于[0，7/2]上的解的和，其中a为满足-2＜a＜2的已知常数．

21. 难度：中等

出于应用方便和数学交流的需要，我们教材定义向量的坐标如下：取和为直角坐标第xOy中与x轴和y轴正方向相同的单位向量，根据平面向量基本定理，对于该平面上的任意一个向量，则存在唯一的一对实数λ，μ，使得=+μ，我们就把实数对（λ，μ）称作向量的坐标．并依据这样的定义研究了向量加法、减法、数乘向量及数量积的坐标运算公式．现在我们用和表示斜坐标系x‘Oy’中与x‘轴和y轴正方向相同的单位向量，其中＜，＞=，
（1）请你模仿直角坐标系xOy中向量坐标的定义方式，用向量和做基底向量定义斜坐标系x‘Oy’平面上的任意一个向量的坐标；
（2）在（1）的基础上研究斜坐标系x‘Oy’中向量的加法、减法、数乘向量及数量积的坐标运算公式．

22. 难度：中等

甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f（x）、g（x），当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f（x）万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g（x）万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险．
（Ⅰ）试解释f（0）=10，g（0）=20的实际意义；
（Ⅱ）设，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司各应投入多少宣传费？