2009-2010学年数学寒假作业（03）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设集合A={（x，y）|4x+y=6}，B={（x，y）|3x+2y=7}，则满足C⊆（A∩B）的集合C的个数是     ．

2. 难度：中等

若f（x）=asinx+3cosx是偶函数，则实数a=    ．

3. 难度：中等

设是奇函数，则a+b的取值范围是    ．

4. 难度：中等

过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是    ．

5. 难度：中等

若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为
    ．

6. 难度：中等

已知tanα=，则sinαcosα-2sin²α=    ．

7. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A、B、C所对的边，设向量=（b-c，c-a），=（b，c+a），若向量，则角A的大小为     ．

8. 难度：中等

如图（1）所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图（2）水平放置时，液面高度为20cm，当这个几何体如图（3）水平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为     ．

9. 难度：中等

已知圆O：x²+y²=1与x轴交于点A和B，在线段AB上取一点D（x，0），作DC⊥AB与圆O的一个交点为C，若线段AD、BD、CD可作为一个锐角三角形的三边长，则x的取值范围为     ．

10. 难度：中等

已知=（1，sin²x），=（2，sin2x），其中x∈（0，π），若||=||•||，则tanx的值等于     ．

11. 难度：中等

已知f（x）是定义在[-2，2]上的函数，且对任意实数x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有，且f（x）的最大值为1，则满足f（log₂x）＜1的解集为     ．

12. 难度：中等

设等差数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别为S_n、T_n，若对任意自然数n都有=，则+的值为     ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-a|x+b（a，b∈R），给出下列命题：
（1）当a=0时，f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称；
（2）当x＞a时，f（x）是递增函数；
（3）当0≤x≤a时，f（x）的最大值为+b．
其中正确的序号是     ．

14. 难度：中等

对于任意的x∈（，），不等式psin⁴x+cos⁶x≤2sin⁴x恒成立，则实数p的取值范围为     ．

二、解答题

15. 难度：中等

如图已知在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA₁、BB₁、AB、B₁C₁的中点．
（1）求证：面PCC₁⊥面MNQ；
（2）求证：PC₁∥面MNQ；
（3）若，求三棱锥P-MNQ的体积．

16. 难度：中等

已知椭圆的左、右两个顶点分别为A，B，直线x=t（-2＜t＜2）与椭圆相交于M，N两点，经过三点A，M，N的圆与经过三点B，M，N的圆分别记为圆C₁与圆C₂．
（1）求证：无论t如何变化，圆C₁与圆C₂的圆心距是定值；
（2）当t变化时，求圆C₁与圆C₂的面积的和S的最小值．