2009-2010学年数学寒假作业（01）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若复数z满足方程（i是虚数单位），则z=    ．

2. 难度：中等

已知命题P：“∀x∈R，x²+2x-3≥0”，请写出命题P的否定：    ．

3. 难度：中等

已知sinα=，其中α∈（0，），则cos（α+）=    ．

4. 难度：中等

若方程lnx-6+2x=0的解为x，则不等式x≤x的最大整数解是    ．

5. 难度：中等

已知函数f（x）=x•e^x，则f′（0）=    ．

6. 难度：中等

函数y=1-sin²（x-）的最小正周期是    ．

7. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₄+a₁₂+a₁₇+a₁₉=8，则S₂₅的值为     ．

8. 难度：中等

直线x+2y-2=0经过椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于    ．

9. 难度：中等

设直线l₁：x-2y+2=0的倾斜角为a₁，直线l₂：mx-y+4=0的倾斜角为a₂，且a₂=a₁+90°，则m的值为    ．

10. 难度：中等

已知存在实数a满足ab²＞a＞ab，则实数b的取值范围为    ．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+（b-）x+a+b是偶函数，则此函数图象y轴交点的纵坐标的最大值是    ．

12. 难度：中等

已知点P在直线x+2y-1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ中点为N（x，y），且y＞x+2，则的取值范围为    ．

13. 难度：中等

已知平面上的向量、满足，=2，设向量，则的最小值是     ．

14. 难度：中等

如果函数f（x）=a^x（a^x-3a²-1）（a＞0且a≠1）在区间[0，+∞）上是增函数，那么实数a的取值范围是     ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知O为原点，向量=（3cosx，3sinx），=（3cosx，sinx），=（2，0），x．
（1）求证：（-）；
（2）求tan∠AOB的最大值及相应x值．

16. 难度：中等

已知以点P为圆心的圆过点A（-1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C、D，且|CD|=．
（1）求直线CD的方程；
（2）求圆P的方程；
（3）设点Q在圆P上，试探究使△QAB的面积为8的点Q共有几个？证明你的结论．