2006-2007学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合S=R，A={x|x²-2x-3≤0}，那么集合C_SA等于（ ）
A．{x|x＜-1或x＞3}
B．{x|x≤-3或x＞1}
C．{x|-1≤x＜3}
D．{x|-3＜x≤1}

2. 难度：中等

将函数的图象按向量a平移后，得到的图象，则（ ）
A．=（1，2）
B．=（1，-2）
C．=（-1，2）
D．=（-1，-2）

3. 难度：中等

在空间中，有如下四个命题：
①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；
②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；
③若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，则α∥β；
④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直．
其中正确的两个命题是（ ）
A．①、③
B．②、④
C．①、④
D．②、③

4. 难度：中等

在（1-2x）⁶的展开式中x³的系数是（ ）
A．240
B．15
C．-15
D．-160

5. 难度：中等

在1，2，3，4，5这五个数字所组成的允许有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有（ ）
A．16个
B．18个
C．19个
D．21个

6. 难度：中等

已知函数上是减函数，则ω的取值范围是（ ）
A．
B．[-3，0）
C．
D．（0，3]

7. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和是S_n，若[log₂a_n]是公差为-1的等差数列，且，那么a₁的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在△ABC中，，△ABC的面积夹角的取值范围是（ ）
A．[]
B．[]
C．[]
D．[]

二、填空题

9. 难度：中等

在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积是    ．

10. 难度：中等

不等式|3^x-5|＜4的解集是    ．

11. 难度：中等

若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9π，则球的表面积是   

12. 难度：中等

已知双曲线的一条准线方程为，则a等于     ，该双曲线的离心率为     ．

13. 难度：中等

设向量，则的最大值为     ．

14. 难度：中等

已知二次函数f（x）的二次项系数a，且不等式f（x）＞-x的解集为（1，2），若f（x）的最大值为正数，则a的取值范围是   

三、解答题

15. 难度：中等

已知{a_n}是等差数列，a₂=5，a₅=14．
（I）求{a_n}的通项公式；
（II）设{a_n}的前n项和S_n=155，求n的值．

16. 难度：中等

已知函数
（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）求f（x）的值域；
（Ⅲ）设α的锐角，且f（α）的值．

17. 难度：中等

在一天内甲、乙、丙三台设备是否需要维护相互之间没有影响，且甲、乙、丙在一天内不需要维护的概率依次为0.9、0.8、0.85．则在一天内
（I）三台设备都需要维护的概率是多少？
（II）恰有一台设备需要维护的概率是多少？
（III）至少有一台设备需要维护的概率是多少？

18. 难度：中等

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，则棱长为3，底面边长为2，E是棱BC的中点．
（I）求异面直线AA₁和BD₁所成角的大小；
（II）求证：BD₁∥平面C₁DE；
（III）求二面角C₁-DE-C的大小．

19. 难度：中等

设a＞1，函数f（x）=a^x+1-2．
（1）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）若f^-1（x）在[0，1]上的最大值与最小值互为相反数，求a的值；
（3）若f^-1（x）的图象不经过第二象限，求a的取值范围．

20. 难度：中等

设a＞0，定点F（a，0），直线l：x=-a交x轴于点H，点B是l上的动点，过点B垂直于l的直线与线段BF的垂直平分线交于点M．
（I）求点M的轨迹C的方程；
（II）设直线BF与曲线C交于P，Q两点，证明：向量、与的夹角相等．