2009-2010学年北京市宣武区高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={1，2，3，4}，B={3，4，5}，全集U=A∪B，则集合C_U（A∩B）的元素个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

2. 难度：中等

“a=2”是“直线l₁：x+a²y+3=0与直线l₂：y=4x-1互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

下列结论正确的是（ ）
A．∃x∈R，使2x²-x+1＜0成立
B．∀x＞0，都有成立
C．函数的最小值为2
D．0＜x≤2时，函数y=x-有最大值为

4. 难度：中等

从45名男生和15名女生中按分层抽样的方法，选出8人参加国庆活动．若此8人站在同一排，则不同的排法种数为（ ）
A．C₄₅⁶C₁₅²
B．C₄₅⁶C₁₅²A₈⁸
C．C₄₅⁵C₁₅³
D．C₄₅⁵C₁₅³A₈⁸

5. 难度：中等

如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y=x²图象下方的点构成的区域．在D内随机取一点，则该点在E中的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设函数，其中，则导数f'（-1）的取值范围（ ）
A．[3，6]
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，线段B₁D₁上有一个点E，且ED₁=1，则四棱锥A-BED₁D的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）和f（x+2）都是定义在R上的偶函数，当x∈[-2，2]时，f（x）=g（x）．则当x∈[-4n-2，-4n+2]n∈Z时，f（x）的解析式为（ ）
A．g（x）
B．g（x+2n）
C．g（x+4n）
D．g（x-4n）

二、填空题

9. 难度：中等

已知（3+x）ⁿ的展开式中二项式系数之和为16，则n=    ；设i为虚数单位，复数（1+i）ⁿ的运算结果为    ．

10. 难度：中等

已知非零向量与，满足：，且，则向量与向量的夹角θ=    ．

11. 难度：中等

如果点P在不等式组所确定的平面区域内，点Q在圆（x-3）²+（y-3）²=1上，那么|PQ|的最小值为    ．

12. 难度：中等

执行如图程序框图，若输出的y值为11，则输入的x值为    ．

13. 难度：中等

如图，已知△ABC和△BCD所在平面互相垂直，∠ABC=∠BCD=90°，AB=a，BC=b，CD=c，且a²+b²+c²=1，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为    ．

14. 难度：中等

用α，β，γ三个字母组成一个长度为n+1（n∈N*）个字母的字符串，要求由α开始，相邻两个字母不同．例如n=1时，排出的字符串可能是αβ或αγ；n=2时排出的字符串可能是αβα，αβγ，αγα，αγβ（如图）．若记这种n+1个字符串中，排在最后一个的字母仍是α的所有字符串的种数为a_n，可知，a₁=0，a₂=2；则a₄=    ；数列{a_n}的前2n项之和a₁+a₂+a₃+…+a_2n=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且．
（1）求∠A的度数；
（2）若，a=6，求△ABC的面积．

16. 难度：中等

如图正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，，AB=2，若N为棱AB中点．
（1）求证：AC₁∥平面NB₁C；
（2）求A₁C₁与平面NB₁C所成的角正弦值．

17. 难度：中等

某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．
（1）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“世博会会徽”卡的概率是，求抽奖者获奖的概率；
（2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及Eξ的值．

18. 难度：中等

已知二次函数g（x）的图象经过坐标原点，且满足g（x+1）=g（x）+2x+1，设函数f（x）=mg（x）-ln（x+1），其中m为非零常数
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）当-2＜m＜0时，判断函数f（x）的单调性并且说明理由；
（3）证明：对任意的正整数n，不等式恒成立．

19. 难度：中等

已知直线l：y=kx+1与圆C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于A，B两点．
（1）求弦AB的中点M的轨迹方程；
（2）若O为坐标原点，S（k）表示△OAB的面积，，求f（k）的最大值．

20. 难度：中等

已知函数，m为正整数．
（I）求f（1）+f（0）和f（x）+f（1-x）的值；
（II）若数列{a_n}的通项公式为（n=1，2，…，m），求数列{a_n}的前m项和S_m；
（III）设数列{b_n}满足：，b_n+1=b_n²+b_n，设，若（Ⅱ）中的S_m满足对任意不小于3的正整数n，恒成立，试求m的最大值．