2009-2010学年北京市崇文区高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若i是虚数单位，则=（ ）
A．2-i
B．i-2
C．-2-i
D．2+i

2. 难度：中等

已知命题p：∃x∈R，x²+2x+2≤0，那么下列结论正确的是（ ）
A．非P：∃x∈R，x²+2x+2＞0
B．非P：∀x∈R，x²+2x+2＞0
C．非P：∃x∈R，x²+2x+2≥0
D．非P：∀x∈R，x²+2x+2≥0

3. 难度：中等

“m=-2”是“直线（m+1）x+y-2=0与直线mx+（2m+2）y+1=0相互垂直”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

设，b=0.3^0.5，c=log_0.30.2，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c
B．a＜b＜c
C．b＜a＜c
D．a＜c＜b

5. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，并且满足时，f（x）=x，则f（105.5）=（ ）
A．-2.5
B．2.5
C．5.5
D．-5.5

6. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

7. 难度：中等

已知点F，A分别是椭圆的左焦点、右顶点，B（0，b）满足，则椭圆的离心率等于（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若函数的定义域为R，则b-3a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-3]
B．[-3，+∞）
C．（-∞，3]
D．[3，+∞）

二、填空题

9. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为    ．

10. 难度：中等

在极坐标系中，曲线ρ=2cosθ所表示图形的面积为    ．

11. 难度：中等

某班甲、乙两名同学进入高中以来5次数学考试成绩的茎叶图如图，甲、乙两人5次数学考试成绩的中位数分别为    ，平均数分别为    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，，则△ABC的面积为    ．

13. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，已知∠ABC=90°，BC=6，以AB为直径作⊙O，连接OC，过点C作⊙O的切线CD，D为切点，若sin∠OCD=，则直径AB=    ．

14. 难度：中等

若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这一系列函数为“同族函数”，试问解析式为y=x²，值域为{1，2}的“同族函数”共有    个．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值及相应的x值．

16. 难度：中等

在三棱锥P-ABC中，△PAC和△PBC是边长为的等边三角形，AB=2，O是AB中点．
（1）在棱PA上求一点M，使得OM∥平面PBC；
（2）求证：平面PAB⊥平面ABC；
（3）求二面角P-BC-A的余弦值．

17. 难度：中等

某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为

ξ	1	2	3	4	5
P	0.4	0.2	0.2	0.1	0.1

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．
（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；
（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=aln（2x+1）+bx+1．
（I）若函数y=f（x）在x=1处取得极值，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线2x+y-3=0平行，求a的值；
（Ⅱ）若，试讨论函数y=f（x）的单调性．

19. 难度：中等

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；
（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知f（x）为二次函数，不等式f（x）+2＜0的解集为，且对任意α，β∈R恒有f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0．数列a_n满足a₁=1，（n∈N^×）
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设，求数列b_n的通项公式；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中数列b_n的前n项和为S_n，求数列S_n•cos（b_nπ）的前n项和T_n．