2009-2010学年高三（上）数学寒假作业03（函数、导数及其应用二）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若是奇函数，则a=    ．

2. 难度：中等

若a+a^-1=3，则的值为    ．

3. 难度：中等

已知函数f（x）是二次函数，不等式f（x）＞0的解集是（0，4），且f（x）在区间[-1，5]上的最大值是12，则f（x）的解析式为     ．

4. 难度：中等

若对于任意的x∈[1，3]，x²+（1-a）x-a+2≥0恒成立，则实数a的取值范围是    ．

5. 难度：中等

函数f（x）=x²+ax+5对x∈R恒有f（-2+x）=f（-2-x），若x∈[m，0]（m＜0）时，f（x）的值域为[1，5]，则实数m的取值范围是    ．

6. 难度：中等

已知函数，则f（89）=    ．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+（b-）x+a+b是偶函数，则此函数图象y轴交点的纵坐标的最大值是    ．

8. 难度：中等

若方程lg|x|=-|x|+5在区间（k，k+1）（k∈Z）上有解，则所有满足条件的k的值的和为    ．

9. 难度：中等

已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）在R上的导数，则不等式的解集为     ．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=|x²-2ax+b|（x∈R），给出下列四个命题：
①f（x）必是偶函数；
②当f（0）=f（2）时，f（x）的图象必关于x=1对称；
③若a²-b≤0，则f（x）在区间[a，+∞]上是增函数；
④f（x）有最大值|a²-b|．
其中所有真命题的序号是    ．

二、解答题

11. 难度：中等

已知函数满足．
（1）求常数k的值；
（2）若f（x）-2a＜0恒成立，求a的取值范围．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=ax，（a∈R）．
（1）判断函数f（x）的对称性和奇偶性；
（2）当a=2时，求使g²（x）f（x）=4x成立的x的集合；
（3）若a＞0，记F（x）=g（x）-f（x），试问F（x）在（0，∞）是否存在最大值，若存在，求a的取值范围，若不存在，说明理由．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a、b∈R）．
（1）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；
（2）若a=1，函数f（x）的图象能否总在直线y=b的下方？说明理由；
（3）若函数f（x）在[0，2]上是增函数，x=2是方程f（x）=0的一个根，求证：f（1）≤-2．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=-a²x²+ax+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）我们称使f（x）=0成立的x为函数的零点．证明：当a=1时，函数f（x）只有一个零点；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围．

15. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1，对于任意的实数x₁、x₂（x₁≠x₂），都有成立，且f（x+2）为偶函数．
（1）求a的取值范围；
（2）求函数y=f（x）在[a，a+2]上的值域；
（3）定义区间[m，n]的长度为n-m．是否存在常数a，使的函数y=f（x）在区间[a，3]的值域为D，且D的长度为10-a³．