2009-2010学年福建省厦门第一中学高二（下）期中数学试卷（选修2-2）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，=（ ）
A．1+2i
B．1-2i
C．2+i
D．2-i

2. 难度：中等

某汽车启动后的路程s与时间t的函数关系为s（t）=2t³-5t²+2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么汽车在2秒末的加速度是（ ）
A．14m/s²
B．10m/s²
C．6m/s²
D．4m/s²

3. 难度：中等

函数f（x）=x³-3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（ ）
A．1，-1
B．1，-17
C．3，-17
D．9，-19

4. 难度：中等

曲线y=x³-2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°

5. 难度：中等

函数f（x）=xe^-x的（ ）
A．极大值为e^-1
B．极小值为e^-1
C．极大值为-e
D．极小值为-e

6. 难度：中等

已知f（x）=x²+2x•f′（1），则 f′（0）等于（ ）
A．-2
B．2
C．1
D．-4

7. 难度：中等

函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数（ ）
A．（，）
B．（π，2π）
C．（，）
D．（2π，3π）

8. 难度：中等

如图，在杨辉三角中（三角形两腰数字为1，其余各项等于两肩数字之和），从上往下共有n行，则这些数中不是1的数字之和为（ ）

A．2ⁿ-2n
B．2ⁿ-2n+1
C．2ⁿ-1
D．n²-2n+1

9. 难度：中等

一个小孩拿一遥控汽车，开动后随意停止，汽车在如图所示的一个平面内运动，则汽车停在黄色区域与停在绿色区域的概率是否相等？停在红色区域的概率是多少？
（ ）

A．不相等；
B．不相等；
C．相等；
D．相等；

10. 难度：中等

设p：f（x）=e^x+lnx+2x²+mx+1在（0，+∞）内单调递增，q：m≥-5，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

二、填空题

11. 难度：中等

某物体运动的路程s（千米）与运动的时间t（小时）关系如图所示，则当t=3小时，物体运动所经过的路程为     千米．

12. 难度：中等

在频数分布直方图中，有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它10个小长方形面积的和的 ，且数据有160个，则中间一组的频数为     ．

13. 难度：中等

曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a的值为     ．

14. 难度：中等

给出下面几个推理：
①由“6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7…”得到结论：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和；
②由“三角形内角和为180°”得到结论：直角三角形内角和为180°；
③由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为边长的立方；
④由“a²+b²≥2ab（a，b∈R）”推得sin2x≤1．
其中是演绎推理的序号是     ．

15. 难度：中等

已知圆柱的体积为2π，则圆柱表面积的最小值为     ．

16. 难度：中等

如图，圆心角∠AOB=120°，P是 上任一点（不与A，B重合），点C在AP的延长线上，则∠BPC等于     ．

17. 难度：中等

函数f（x）=|x²-2x|-a有四个零点，则实数a的取值范围是     ．

18. 难度：中等

关于在区间（a，b）上的可导函数f（x），有下列命题：①f（x）在（a，b）上是减函数的充要条件是
f′（x）＜0；②（a，b）上的点x为f（x）的极值点的充要条件是f′（x）=0；③若f（x）在（a，b）上有唯一的极值点x，则x一定是f（x）的最值点；④f（x）在（a，b）上一点x的左右两侧的导数异号的充要条件是点x是函数f（x）的极值点．其中正确命题的序号为     ．

三、解答题

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x²和g（x）=4-x，
（Ⅰ）解关于x的不等式|f′（x）|+|g（x）|＞6；
（Ⅱ）求由曲线y=f（x）和y=g（x）围成的封闭图形的面积．

20. 难度：中等

设t≠0，点P（t，0）是函数f（x）=x³+ax与g（x）=bx²+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．
（Ⅰ）用t表示a，b，c；
（Ⅱ）若函数y=f（x）-g（x）在（-1，3）上单调递减，求t的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-3x．过点P（2，-6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程．

22. 难度：中等

已知某公司生产的品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1万件，需要另投入1.9万元．设R（x）（单位：万元）为销售收入，根据市场调查，得到
R（x）=，其中x是年产量（单位：万件）．
（Ⅰ）写出年利润W关于年产量x的函数解析式；
（Ⅱ）年产量x为多少时，该公司在这一品牌的生产中所获得的年利润最大？

23. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N⁺）．（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，并猜想数列{a_n}的通项公式（不必证明）；（Ⅱ）证明：当λ≠0时，数列{a_n}不是等比数列；（Ⅲ）当λ=1时，试比较a_n与n²+1的大小，证明你的结论．

24. 难度：中等

若函数f（x）=lnx，g（x）=x-．
（1）求函数φ（x）=g（x）-kf（x）（k＞0）的单调区间；
（2）若对所有的x∈[e，+∞]，都有xf（x）≥ax-a成立，求实数a的取值范围．