2009-2010学年高二（下）期中数学试卷B（理科）（选修2-2）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

y=x²cosx的导数是（ ）
A．y′=2xcosx+x²sin
B．y′=2xcosx-x²sin
C．y=2xcos
D．y′=-x²sin

2. 难度：中等

下列结论中正确的是（ ）
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在x附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x）是极大值
C．如果在x附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，那么f（x）是极小值
D．如果在x附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，那么f（x）是极大值

3. 难度：中等

某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N^*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立．现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（ ）
A．当n=6时，该命题不成立
B．当n=6时，该命题成立
C．当n=4时，该命题不成立
D．当n=4时，该命题成立

4. 难度：中等

函数f（x）=3x-4x³（x∈[0，1]）的最大值是（ ）
A．1
B．
C．0
D．-1

5. 难度：中等

一个弹簧不挂重物时长12cm，挂上重物后，弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长3cm，则弹簧总长y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：kg）的函数解析式是（ ）
A．y=12+
B．y=11+3
C．y=12-3
D．y=12+3

6. 难度：中等

计算∫^2π|sinx|dx的值为（ ）
A．0
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

若复数（a²-a-2）+（|a-1|-1）i（a∈R）不是纯虚数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠-1或a≠2
B．a≠-1且a≠2
C．a≠-1
D．a≠2

8. 难度：中等

一组数据3，4，5，5，8的方差是 （ ）
A．2.5
B．2.6
C．2.7
D．2.8

9. 难度：中等

学校为七年级学生订做校服，校服型号有小号、中号、大号、特大号四种．随机抽取了100名学生调查他们的身高，得到身高频数分布表如下，已知该校七年级学生有800名，那么中号校服应订制（ ）套．
A．300
B．360
C．400
D．420

10. 难度：中等

函数的导数是（ ）
A．y′=sinx+xcosx+
B．y′=sinx-xcosx+
C．y′=sinx+xcosx-
D．y′=sinx-xcosx-

11. 难度：中等

复数z=1-cosθ+isinθ（2π＜θ＜3π）的模为（ ）
A．2cos
B．-2cos
C．2sin
D．-2sin

12. 难度：中等

曲线f（x）=x³+x-2在p处的切线平行于直线y=4x-1，则p点的坐标为（ ）
A．（1，0）
B．（2，8）
C．（2，8）和（-1，-4）
D．（1，0）和（-1，-4）

二、填空题

13. 难度：中等

已知（2x-1）+i=y+（3-y）i，其中x，y∈R，则x=    ，y=    ．

14. 难度：中等

已知f（x）为一次函数，且f（x）=x+2，则f（x）=    ．

15. 难度：中等

某校高三年级800名学生参加英语口语测试，将精确到0.1分的成绩分成5组，绘成频率分布直方图如图，且知第1，2，3，5小组的频率分别为0.04，0.14，0.26，0.28．
（1）求出第4小组学生人数，并补全直方图；
（2）若成绩在8.05以上者为优秀，则该校高三学生英语口语测试成绩的优秀率是多少？

16. 难度：中等

关于x的不等式mx²-nx+p＞0（m，n，p∈R）的解集为（-1，2），则复数m+pi所对应的点位于复平面内的第    象限．

三、解答题

17. 难度：中等

一物体沿直线以速度v（t）=2t-3（t的单位为：秒，v的单位为：米/秒）的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻t=5秒间运动的路程？

18. 难度：中等

定义在定义域D内的函数y=f（x），若对任意的x₁、x₂∈D都有|f（x₁）-f（x₂）|＜1，则称函数y=f（x）为“妈祖函数”，否则称“非妈祖函数”．试问函数f（x）=x³-x+α（x∈[-1，1]，α∈R）是否为“妈祖函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由．

19. 难度：中等

如图，点P为斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱BB₁上一点，PM⊥BB₁交AA₁于点M，PN⊥BB₁交CC₁于点N．
（1）求证：CC₁⊥MN；
（2）在任意△DEF中有余弦定理：DE²=DF²+EF²-2DF•EFcos∠DFE．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足S_n+a_n=2n+1．
（1）写出a₁，a₂，a₃，并推测a_n的表达式；
（2）用数学归纳法证明所得的结论．

21. 难度：中等

设
（1）求|z₁|的值以及z₁的实部的取值范围；
（2）若，求证：ω为纯虚数．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ln|x|（x≠0），函数g（x）=+af'（x）（x≠0）
（1）当x≠0时，求函数y=g（x）的表达式；
（2）若a＞0，函数y=g（x）在（0，+∞）上的最小值是2，求a的值；
（3）在（2）的条件下，求直线y=与函数y=g（x）的图象所围成图形的面积．