2009-2010学年北京市东城区示范校高三（上）12月联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|-2＜x＜2}，B={x|x²-2x≤0}，则A∩B等于（ ）
A．（0，2）
B．（0，2]
C．[0，2）
D．[0，2]

2. 难度：中等

已知平面向量，则向量=（ ）
A．（-2，-1）
B．（-1，2）
C．（-1，0）
D．（-2，1）

3. 难度：中等

设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，已知a₂=3，a₆=11，则S₇等于（ ）
A．13
B．35
C．49
D．63

4. 难度：中等

已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式中成立的是（ ）
A．
B．a²＞b²
C．lg（a-b）＞0
D．

5. 难度：中等

下列命题错误的是（ ）
A．命题“若x²-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x²-3x+2≠0”
B．“x＞2”是“x²-3x+2＞0”的充分不必要条件
C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题
D．对于命题p：∃x∈R，x²+x+1＜0，则^¬p：∀x∈R，x²+x+1≥0

6. 难度：中等

已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题：
①若m∥n，m⊥α，则n⊥α
②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；
④若m∥α，α∩β=n，则m∥n，
其中不正确的命题的个数是（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

7. 难度：中等

如图，垂直于平面α的线段AB和CD，其长分别为15cm和10cm，则平面α内满足∠APB=∠CPD的点P的轨迹是（ ）

A．椭圆
B．双曲线的一支
C．抛物线
D．圆

8. 难度：中等

设函数，则函数y=f（x）（ ）
A．在区间（0，1），（1，2）内均有零点
B．在区间（0，1）内有零点，在区间（1，2）内无零点
C．在区间（0，1），（1，2）内均无零点
D．在区间（0，1）内无零点，在区间（1，2）内有零点

二、填空题

9. 难度：中等

曲线y=x³-1在x=1处的切线方程为     ．

10. 难度：中等

将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式是    ，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是    ．

11. 难度：中等

若实数x，y满足不等式组，则3x+2y的最大值是    ．

12. 难度：中等

设，则不等式f（x）＞1的解集为     ．

13. 难度：中等

一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm）如图所示，则该几何体的侧面积为    cm²，体积为    ．cm³．

14. 难度：中等

观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有     个小正方形，第n个图中有     个小正方形

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数，
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给予证明；
（2）求证：方程f（x）-lnx=0至少有一根在区间（1，3）．

16. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
（1）如果A，B两点的纵坐标分别为，，求cosα和sinβ的值；
（2）在（1）的条件下，求cos（β-α）的值；
（3）已知点C，求函数的值域．

17. 难度：中等

如图，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，AB=2，C是⊙O上一点，且PA=AC=BC，E，F分别为PC，PB中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：EF⊥PC；
（3）求三棱锥B-PAC的体积．

18. 难度：中等

等比数列{a_n}中，已知a₁=2，a₄=16
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a₃，a₅分别为等差数列{b_n}的第3项和第5项，试求数列{b_n}的通项公式及前n项和S_n．

19. 难度：中等

设函数f（x）=ax³-3x²，（a∈R），且x=2是y=f（x）的极值点．
（Ⅰ）求实数a的值，并求函数的单调区间；
（Ⅱ）求函数g（x）=e^x•f（x）的单调区间．

20. 难度：中等

已知矩形ABCD中，，BC=1．以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy．
（1）求以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的标准方程；
（2）过点P（0，2）的直线l与（1）中的椭圆交于M，N两点，是否存在直线l，使得以线段MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．