2006-2007学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知，则cos2α=（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知抛物线的方程为y²=4x，则此抛物线的焦点坐标为（ ）
A．（-1，0）
B．（0，-1）
C．（1，0）
D．（0，1）

3. 难度：中等

设集合A={1，2，3，4}，m、n∈A，则方程表示焦点位于x轴上的椭圆有（ ）
A．6个
B．8个
C．12个
D．16个

4. 难度：中等

已知直线m、n、l，平面α、β，有下列命题：
①m⊂α、n⊂α；m∥β，n∥β，则α∥β
②m⊂α、n⊂α；l⊥m，l⊥n，则l⊥α
③α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α
④m∥n，n⊂α，则m∥α
其中正确的命题是：（ ）
A．①③
B．②④
C．①②④
D．③

5. 难度：中等

某台机器上安装甲乙两个元件，这两个元件的使用寿命互不影响．已知甲元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，要使两个元件中至少有一个的使用寿命超过1年的概率至少为0.9，则乙元件的使用寿命超过1年的概率至少为（ ）
A．0.3
B．0.6
C．0.75
D．0.9

6. 难度：中等

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），且函数的图象如图所示，则点（ω，φ）的坐标是（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知向量=（2cosα，2sinα），=（3cosβ，3sinβ），若向量与的夹角为60°，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．相交且过圆心

8. 难度：中等

动点P为椭圆上异于椭圆顶点（±a，0）的一点，F₁、F₂为椭圆的两个焦点，动圆C与线段F₁P、F₁F₂的延长线及线段PF₂相切，则圆心C的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ）
A．一条直线
B．双曲线的右支
C．抛物线
D．椭圆

二、填空题

9. 难度：中等

已知双曲线，则其渐近线方程是     ，离心率e=    ．

10. 难度：中等

在复平面内，复数z₁=1+i，z₂=2+3i对应的点分别为A、B，O为坐标原点，若点P在第四象限内，则实数λ的取值范围是   

11. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差为2，若a₂，a₄，a₅成等比数列，则a₂=    ．

12. 难度：中等

已知正四棱锥P-ABCD，PA=2，AB=，M是侧棱PC的中点，则异面直线PA与BM所成角为    ．

13. 难度：中等

已知x、y满足约束条件，则z=（x+3）²+y²的最小值为    ．

14. 难度：中等

已知直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各条棱长均为3，∠BAD=60°．长为2的线段MN的一个端点M在DD₁上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则线段MN的中点P的轨迹（曲面）与共一个顶点D的三个面所围成的几何体的体积为     ．

三、解答题

15. 难度：中等

在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若bcosC=（2a-c）cosB
（Ⅰ）求∠B的大小
（Ⅱ）若、a+c=4，求三角形ABC的面积．

16. 难度：中等

已知圆C方程为：x²+y²=4．
（Ⅰ）直线l过点P（1，2），且与圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程；
（Ⅱ）过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．

17. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，M为侧棱CC₁上一点，AM⊥BA₁．
（Ⅰ）求证：AM⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求二面角B-AM-C的大小．

18. 难度：中等

设函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当0＜a＜2时，求函数g（x）=f（x）-x²-ax-1在区间[0，3]的最小值．

19. 难度：中等

设椭圆的焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），右准线l交x轴于点A，且．
（Ⅰ）试求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F₁、F₂分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形DMEN面积的最大值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且满足下列条件：
①对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3，且f（1）=4；
②若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-3．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求证：f（x）≤4；
（Ⅲ）当时，试证明：f（x）＜3x+3．