2008-2009学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

抛物线y²=8x的准线方程是（ ）
A．x=-2
B．x=-4
C．y=-2
D．y=-4

2. 难度：中等

将函数y=cos2x的图象按向量平移后得到函数f（x）的图象，那么（ ）
A．f（x）=-sin2x+1
B．f（x）=sin2x+1
C．f（x）=-sin2x-1
D．f（x）=sin2x-1

3. 难度：中等

在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果c=a，B=30°，那么C等于（ ）
A．120°
B．105°
C．90°
D．75°

4. 难度：中等

位于北纬x度的A、B两地经度相差90°，且A、B两地间的球面距离为（R为地球半径），那么x等于（ ）
A．30
B．45
C．60
D．75

5. 难度：中等

已知定义域为R的函数f（x），对任意的x∈R都有恒成立，且，则f（62）等于（ ）
A．1
B．62
C．64
D．83

6. 难度：中等

已知α，β∈{1，2，3，4，5}，那么使得sinα•cosβ＜0的数对（α，β）共有（ ）
A．9个
B．11个
C．12个
D．13个

7. 难度：中等

如果对于空间任意n（n≥2）条直线总存在一个平面α，使得这n条直线与平面α所成的角均相等，那么这样的n（ ）
A．最大值为3
B．最大值为4
C．最大值为5
D．不存在最大值

二、填空题

8. 难度：中等

=    ．

9. 难度：中等

如果，那么f[f（2）]=    ；不等式的解集是     ．

10. 难度：中等

已知点F₁、F₂分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF₁F₂为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为    ．

11. 难度：中等

若实数x，y满足且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为    ．

12. 难度：中等

已知直线x+y+m=0与圆x²+y²=2交于不同的两点A、B，O是坐标原点，，那么实数m的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知：对于给定的q∈N^*及映射f：A→B，B⊆N^*．若集合C⊆A，且C中所有元素对应的象之和大于或等于q，则称C为集合A的好子集．
①对于q=2，A={a，b，c}，映射f：x→1，x∈A，那么集合A的所有好子集的个数为    ；
②对于给定的q，A={1，2，3，4，5，6，π}，映射f：A→B的对应关系如下表：

x	1	2	3	4	5	6	π
f（x）	1	1	1	1	1		z

若当且仅当C中含有π和至少A中2个整数或者C中至少含有A中5个整数时，C为集合A的好子集．写出所有满足条件的数组（q，y，z）：    ．

三、解答题

14. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值和最小值并指出此时相应的x的值．

15. 难度：中等

已知函数g（x）是f（x）=x²（x＞0）的反函数，点M（x，y）、N（y，x）分别是f（x）、g（x）图象上的点，l₁、l₂分别是函数f（x）、g（x）的图象在M，N两点处的切线，且l₁∥l₂．
（Ⅰ）求M、N两点的坐标；
（Ⅱ）求经过原点O及M、N的圆的方程．

16. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D是棱AB的中点，BC=1，AA₁=．
（1）求证：BC₁∥平面A₁DC；
（2）求二面角D-A₁C-A的大小．

17. 难度：中等

某种家电器每台的销售利润与该电器无故障使用时间T（单位：年）有关，若T≤1，则销售利润为0元，若1＜T≤3，则销售利润为100元，若T＞3，则销售利润为200元，设每台该种电台无故障使用时间T≤1，1＜T≤3及T＞3这三种情况发生的概率为P₁，P₂，P₃，又知P₁，P₂是方程25x²-15x+a=0的两个根，且P₂=P₃，
（1）求P₁，P₂，P₃的值；
（2）记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求ξ的分布列和期望

18. 难度：中等

已知点A（0，1）、B（0，-1），P是一个动点，且直线PA、PB的斜率之积为．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设Q（2，0），过点（-1，0）的直线l交C于M、N两点，△QMN的面积记为S，若对满足条件的任意直线l，不等式S≤λtanMQN恒成立，求λ的最小值．

19. 难度：中等

如果正数数列{a_n}满足：对任意的正数M，都存在正整数n，使得，则称数列{a_n}是一个无界正数列．
（Ⅰ）若a_n=3+2sin（n）（n=1，2，3，…），分别判断数列{a_n}、{b_n}是否为无界正数列，并说明理由；
（Ⅱ）若a_n=n+2，是否存在正整数k，使得对于一切n≥k，有成立；
（Ⅲ）若数列{a_n}是单调递增的无界正数列，求证：存在正整数m，使得．

四、选择题

20. 难度：中等

已知全集U，A⊆B，那么下列结论中可能不成立的是（ ）
A．A∩B=A
B．A∪B=B
C．（C_UA）∩B≠∅
D．（C_UB）∩A≠∅