2009-2010学年山东省德州市鲁北中学高三（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则（ ）
A．¬p：∃x∈R，sinx≥1
B．¬p：∀x∈R，sinx≥1
C．¬p：∃x∈R，sinx＞1
D．¬p：∀x∈R，sinx＞1

2. 难度：中等

如图，该程序运行后输出的结果是（ ）
A．8
B．15
C．31
D．63

3. 难度：中等

设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中为真命题的是（ ）

①；②；
③；④．
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．①和④

4. 难度：中等

若数列{a_n}的前n项和S_n=3ⁿ⁺¹-a，那么要使{a_n}为等比数列，实数a的值为（ ）
A．3
B．0
C．-3
D．不存在

5. 难度：中等

若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA₁⊥底面A₁B₁C₁，主视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为（ ）

A．4
B．
C．
D．

7. 难度：中等

为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12．则抽取的男生人数是（ ）

A．35
B．48
C．45
D．55

8. 难度：中等

如果函数f（x）在区间D上是“凸函数”，则对于区间D内任意的x₁，x₂，…，x_n，有≤f（）成立．已知函数y=sinx在区间[0，π]上是“凸函数”，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

函数f（x）=mx²-x-1在（0，1）内恰有一个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-∞，-2]
B．（-∞，-2）
C．[2，+∞）
D．（2，+∞）

10. 难度：中等

已知点（x，y）所在的可行域如图所示．若要使目标函数z=ax+y取得最大值的最优解有无数多个，则a的值为（ ）

A．4
B．
C．
D．

11. 难度：中等

函数f（x）=2sin|x-|的部分图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

设f（x）=C₄-C₄¹x+C₄²x²-C₄³x³+C₄⁴x⁴，则导函数f′（x）等于（ ）
A．4（1-x）³
B．4（-1+x）³
C．4（1+x）³
D．4（-1-x）³

二、填空题

13. 难度：中等

复数（2+i）i的虚部为    ．

14. 难度：中等

利用计算机在区间（0，1）上产生两个随机数a和b，则方程x=-2a-有实根的概率为    ．

15. 难度：中等

过抛物线E：y²=4x焦点F的直线l与E交与不同两点A（x₁，y_1），B（x₂，y₂），则的最小值为=    ．

16. 难度：中等

给出下列四个命题：
①已知集合A⊆{1，2，3，4}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有12个；
②任意的三角形ABC中，有cos2A＜cos2B的充要条件是A＞B；
③平面上n个圆最多将平面分成2n²-4n+4个部分；
④空间中直角在一个平面上的正投影可以是钝角；
其中真命题的序号是    （要求写出所有真命题的序号）．

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量，
（I）若，求向量与的夹角θ：
（II）当x∈R时，求函数f（x）=2-+1的最小正周期T．

18. 难度：中等

甲、乙两篮球运动员进行定点投篮，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为
（Ⅰ）求甲至多命中2个且乙至少命中2个的概率；
（Ⅱ）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得-1分，求乙所得分数η的概率分布和数学期望．

19. 难度：中等

如图三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱长均为2，∠CBB₁=∠ABB₁=120°，平面CBB₁C₁⊥平面ABB₁A₁，M是BA₁中点，N是CB₁中点．求证：MN∥平面ABC．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+ax-lnx，a∈R．
（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）令g（x）=f（x）-x²，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存 在，求出a的值；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

设M（-，0），N（，0），动点P满足条件k_PM•k_PN=，记点P的轨迹为C，点R（-3，0），过点R且倾斜角为30的直线l交轨迹C于A、B两点．
（1）求直线l和轨迹C的方程；
（2）点F₁（-2，0），求•；
（3）在直线l上有两个不重合的动点C、D，以CD为直径且过点F₁的所有圆中，求面积最小的圆的半径长．

22. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=，且a_n+2=．
（I）求证：数列为等差数列；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）求下表中前n行所有数的和S_n．