2009-2010学年高二（下）期中数学试卷A（理科）（选修2-2）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数y=x+2cosx在上取最大值时，x的值为（ ）
A．0
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知，那么复数z在平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

给出下面四个类比结论
①实数a，b，若ab=0，则a=0或b=0；类比向量，，若•=0，则=或=；
②实数a，b，有（a+b）²=a²+2ab+b²；类比向量，，有（+）²=²+2•+²；
③向量，有||²=²；类比复数z，有|z|²=z²；
④实数a，b有a²+b²=0，则a=b=0；类比复数z₁，z₂有z₁²+z₂²=0，z₁=z₂=0．
其中类比结论正确的命题个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

4. 难度：中等

曲线y=-在点P（4，-）处的切线方程是（ ）
A．5x+16y+8=0
B．5x-16y+8=0
C．5x+16y-8=0
D．5x-16y-8=0

5. 难度：中等

在“△ABC中，E，F分别是边AB，AC的中点，则EF∥BC”的推理过程中，大前提是（ ）
A．三角形的中位线平行于第三边
B．三角形的中位线长等于第三边长的一半
C．E，F为AB，AC的中点
D．EF∥BC

6. 难度：中等

一个弹簧不挂重物时长12cm，挂上重物后，弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长3cm，则弹簧总长y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：kg）的函数解析式是（ ）
A．y=12+
B．y=11+3
C．y=12-3
D．y=12+3

7. 难度：中等

已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则α的值为（ ）
A．1
B．2
C．-1
D．-2

8. 难度：中等

y=x²cosx的导数是（ ）
A．y′=2xcosx+x²sin
B．y′=2xcosx-x²sin
C．y=2xcos
D．y′=-x²sin

9. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1＞a_n，且（a_n+1-a_n）²-2（a_n+1+a_n）+1=0，计算a₂，a₃，，然后猜想a_n=（ ）
A．n
B．n²
C．n³
D．-

10. 难度：中等

设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

计算∫^2π|sinx|dx的值为（ ）
A．0
B．2
C．3
D．4

12. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为R，对于给定的正数K，定义f_k（x）=，取函数f（x）=2-x-e^-x，恒有f_k（x）=f（x）．则有（ ）
A．K的最小值是2
B．K的最大值是2
C．K的最小值是1
D．K的最大值是1

二、填空题

13. 难度：中等

由曲线y²=2x 和直线y=x-4所围成的图形的面积为    ．

14. 难度：中等

给出下列命题：①若复平面内复数z=x-i 所对应的点都在单位圆x²+y²=1内，则实数x的取值范围是-＜x＜；②在复平面内，若复数z满足|z-i|+|z+i|=4，则z在复平面内对应的点Z的轨迹是焦点在虚轴上的椭圆；③若z³=1，则复数z一定等于1；④若（x²-1）+（x²+3x+2）i是纯虚数，则实数x=±1，其中，正确命题的序号是    

15. 难度：中等

函数f（x）=x³+ax²+bx+a²，在x=1时有极值10，那么a，b的值分别为    ．

16. 难度：中等

如图，在等边△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，连接AD，则∠DAC的度数为     度．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-与x=1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间．
（2）若对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

18. 难度：中等

已知复数，若z²+az+b=1-i，
（1）求z；
（2）求实数a，b的值

19. 难度：中等

先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：
已知a₁，a₂∈R，a₁+a₂=1，求证a₁²+a₂²，
证明：构造函数f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²=2x²-2x+a₁²+a₂²
因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4-8（a₁²+a₂²）≤0，从而得a₁²+a₂²，
（1）若a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1，请写出上述结论的推广式；
（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明．

20. 难度：中等

统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：x+8（0＜x≤120）．已知甲、乙两地相距100千米．
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

21. 难度：中等

用数学归纳法证明凸n边形的对角线条数：f（n）=n（n-3），（n≥3，n∈N）

22. 难度：中等

全世界每年都有大量土地被沙漠吞没，保护土地资源，已成为一项十分紧迫的任务．据统计，在我国西部地区，1998年共有沙漠面积100万公顷，1999年至2002年三年的沙漠面积变化情况如图所示（图中横轴数字表示时间，1，2，3分别表示第1，2，3年年底；纵轴数字表示相应时间对应的沙漠面积比原有面积的增加数；A，B，C三点在一条直线上）．经过专家考察预测，该地区的沙漠面积若干年内将继续按此规律扩大．若以1999年为第1年进行计算，
（1）如果不采取任何措施，求经过m（m＞1，m是自然数）年后该地区的沙漠面积；
（2）如果采取植树造林等措施，每年改造0.8万公顷沙漠，试问经过多少年后该地区的沙漠面积能减少到88万公顷．