2007-2008学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设复数z₁=2+i，z₂=2-3i，则z₁•z₂等于（ ）
A．3-4i
B．7-4i
C．4-3i
D．7+4i

2. 难度：中等

已知函数y=f（x）的图象与函数y=log₂（x-1）（x＞1）的图象关于直线y=x对称，则f（x）的表达式为（ ）
A．f（x）=2^x+1（x∈R）
B．f（x）=2^x-1（x∈R）
C．f（x）=2^x-1（x∈R）
D．f（x）=2^x+1（x∈R）

3. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，若a₁+a₂+…+a₄₉=0，且公差d≠0，则有（ ）
A．a₁+a₄₉＞0
B．a₁+a₄₉＜0
C．a₃+a₄₇=0
D．a₅₀=0

4. 难度：中等

要从其中含有40个黄球的600个形状相同的球中，采用按颜色分层抽样的方法抽取60个进行质量检验，则应抽取黄球的个数为（ ）
A．9个
B．8个
C．5个
D．4个

5. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（πx+θ）cos（πx+θ）在x=3时取得最小值，则θ的一个值可以是
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知点P是曲线y=x³+2x+1上的一点，过点P与此曲线的相切的直线l平行于直线y=2x-3，则切线l的方程是（ ）
A．
B．y=2x+1
C．y=2
D．y=2x+1或y=2

7. 难度：中等

已知点P是以F₁、F₂为左、右焦点的双曲线左支上一点，且满足PF₁⊥PF₂，且|PF₁|：|PF₂|=2：3，则此双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设A＞0，ω＞0，0≤ϕ＜2π，函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），g（x）=Asin（2ωx+ϕ），则函数f（x）在区间内为增函数是函数g（x）在区间内为增函数的（ ）
A．既不充分也不必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．充分必要条件

二、填空题

9. 难度：中等

等于    ．

10. 难度：中等

若（ax-1）⁵的展开式中x³的系数是-80，则实数a的值是     ．

11. 难度：中等

由数字0，1，2，3这四个数字，组成个位数字不为2的没有重复数字的四位数，共有     个．（用数字作答）

12. 难度：中等

在△ABC中，，，M是CB的中点，N是AB的中点，且CN、AM交于点P，用a、b表示为    ．

13. 难度：中等

已知曲线C的参数方程为，则曲线C的普通方程是     ；

14. 难度：中等

设函数f（x）是定义在R上的奇函数，在上单调递增，且满足f（-x）=f（x-1），给出下列结论：①f（1）=0；②函数f（x）的周期是2；③函数f（x）在上单调递增；④函数f（x+1）是奇函数．
其中正确的命题的序号是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知集合A={x||x-2|＜a，a＞0}，集合B=．
（Ⅰ）若a=1，求A∩B；
（Ⅱ）若A⊊B，求实数a的取值范围．

16. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，求边c的值及△ABC的面积．

17. 难度：中等

一个盒子中共有6件产品，其中有2件不合格的产品．现在要逐个进行检查，直到查出不合格产品为止．
（I）求第一次检查就抽到次品的概率；
（Ⅱ）设ξ是检查出2件不合格产品时已检查产品的件数，求ξ的分布列及数学期望．

18. 难度：中等

设函数．
（I）求f′（x）的表达式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间、极大值和极小值；
（Ⅲ）若x∈[a+1，a+2]时，恒有f′（x）＞-3a，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

设动点M的坐标为（x，y）（x、y∈R），向量=（x-2，y），=（x+2，y），且|a|+|b|=8，
（I）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点N（0，2）作直线l与曲线C交于A、B两点，若（O为坐标原点），是否存在直线l，使得四边形OAPB为矩形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=2a_n+n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）若数列{a_n+pn+q}是等比数列，求实数p、q的值；
（Ⅱ）若数列{a_n}的前n项和为S_n，求a_n和S_n；
（Ⅲ）试比较a_n与（n+2）²的大小．