2009-2010学年辽宁省沈阳市四校协作体高三（上）联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合，N={y|y=2}，则M∪N=（ ）
A．φ
B．R
C．M
D．N

2. 难度：中等

函数f（x）=|sinx+cosx|的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．π
D．2π

3. 难度：中等

若为单位向量，且，，则=（ ）
A．
B．
C．4
D．

4. 难度：中等

过点（1，2）且与圆x²+y²-2x=3的相切的直线方程是（ ）
A．x=1或y=2
B．x=-1或x=3
C．y=2
D．x=1

5. 难度：中等

对于函数y=f（x），在其定义域D内，∀x∈D，x≠1，1∈D，则是f（x）在D内单调递增的（ ）条件．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₃+a₇=24-a₅，则S₉=（ ）
A．36
B．60
C．72
D．144

7. 难度：中等

函数的图象与直线x=0，x=1以及x轴围成的曲边梯形的面积是（ ）
A．0
B．1
C．e
D．ln2

8. 难度：中等

已知函数f（x）=Acos（ωx+φ），在x=0处取得最大值，并过点．它的图象如下图，则x的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

双曲线的实轴长为m，且在此双曲线上一点P到右焦点的距离也为m，则点P到此双曲线左焦点的距离为（ ）
A．m
B．2m
C．3m
D．4m

10. 难度：中等

在底面为平行四边形的四棱锥V-ABCD中，，则三棱锥E-BCD与五面体VABED的体积之比为（ ）
A．1：3
B．1：4
C．1：5
D．1：6

11. 难度：中等

定义在R上的奇函数f（x）满足：①在[-1，1]上的解析式为；②函数f（x+1）是偶函数，则f（2010）的值是（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．

12. 难度：中等

方程实根的个数是（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

二、填空题

13. 难度：中等

若α是第三象限角，且tan（α-π）=2，则=    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}是等比数列，且a₂a₄=2a₃-1，则a₃=    ．

15. 难度：中等

某几何体的三视图如图，则此几何体的体积为    ．

16. 难度：中等

过抛物线x²=4y的焦点F作直线交抛物线于P₁（x₁，y₁）P2（x₂，y₂）两点，若y₁+y₂=6，求|P₁P₂|的值．

三、解答题

17. 难度：中等

某村子的正西是一片山区．山脚下A处已建一处采石场，村子的北边有一池塘，南边有一树林，在B处是个石粉厂，在采石场采到的石料由公路ACEDB运输到石粉厂，如图所示．已知A，C，D，B在一条直线上，AC=2km，CE=2km，ED=3km，DB=2km，∠CED=120°．
（I）求CD的长．
（II）在运作了一段时间后，发现在运输车经过公路CE，ED时对池塘有污染..需要另建公路ACMNB．为了不破坏树林，必须要求CM=3km，∠CMN=135°，∠MNB=150°MN∥AC．求建这条新的公路中MN的长．

18. 难度：中等

以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为，（θ为参数），求直线l被圆C截得的弦长．

19. 难度：中等

正项数列{a_n}，其前n项和为S_n并且满足：a_n+1²-a_n²=2ⁿ（S_n+1-S_n+a_n）且a₁=1，n∈N*．
（I）求数列{a_n}的通项公式．
（II）若，判断数列{b_n}的单调性，并证明之．

20. 难度：中等

已知O为坐标原点，点M，N分别在x，y轴上运动，且|MN|=4，动点P满足．
（I）求动点P的轨迹C的方程．
（II）过点（0，2）的直线l与C交于不同两点A，B．
①求直线l斜率k的取值范围．②若OA⊥OB，求直线l的方程．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=（ax+1）a^-x，a＞0且a≠1，讨论f（x）的单调性，并求出极值点x．

22. 难度：中等

如图，已知AB是⊙O的直径，过OA的中点G作弦CE⊥AB于G，点D为优弧CBE上（除点B外）一动点，过D分别作直线CD，ED交直线AB于点F，M．
（I）求∠FDM的值．
（II）若⊙O的直径长为4，M为OB的中点，求△CED的面积．

23. 难度：中等

以坐标原点为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系．在此极坐标系下，曲线C₁的极坐标方程为：ρ=2cosθ，在直角坐标系里，直线C₂的参数方程为：，其中t∈R，t为参数．已知直线C₂与曲线C₁有两个不同交点A，B．求实数a的取值范围．

24. 难度：中等

关于x的不等式|ax+1|+a|x+1|≥3a．
（I）当a=1时，解上述不等式．
（II）当a＜0时，若上述不等式恒成立，求实数a的取值范围．