2010-2011学年北京五中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

I是全集，集合P、Q满足P⊂Q，则下列结论中错误的是（ ）
A．P∪Q=Q
B．（∁_IP）∪Q=I
C．P∩（∁_IQ）=∅
D．（∁_IP）∩（∁_IQ）=∁_IP

2. 难度：中等

下列不等式中，解集为R的是（ ）
A．4x²-4x+1＞0
B．-2x²+4x-8＞0
C．
D．|x+1|＞

3. 难度：中等

已知平面向量=（1，-3），=（4，-2），与垂直，则λ是（ ）
A．-1
B．1
C．-2
D．2

4. 难度：中等

当x＞1时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，2）
B．[2，+∞]
C．[3，+∞]
D．（-∞，3）

5. 难度：中等

若函数f（x）=x³-3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（ ）
A．0＜b＜1
B．b＜1
C．b＞0
D．b＜

6. 难度：中等

已知{a_n}是等比数列，a₂=2，a₅=，则a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=（ ）
A．16（1-4^-n）
B．16（1-2^-n）
C．（1-4^-n）
D．（1-2^-n）

7. 难度：中等

已知a＞0且a≠1，如果直线y=2a与函数f（x）=|a^x-1|的图象有两个不同的公共点，则a的取值范围为（ ）
A．（0，）
B．（，1）
C．（1，2）
D．（2，+∞）

8. 难度：中等

已知函数，给出下列关于f（x）的性质：
①f（x）是周期函数，3是它的一个周期；②f（x）是偶函数；③方程f（x）=cosx有有理根；④方程f[f（x）]=f（x）与方程f（x）=1的解集相同
正确的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

二、填空题

9. 难度：中等

命题“若x²＜1，则-1＜x＜1”的逆否命题是     ．

10. 难度：中等

函数y=f（x）的值域是[-1，2]，则函数y=-f²（x-1）+2f（x-1）的值域为     ．

11. 难度：中等

已知直线l：x-y+4=0与圆C：（x-1）²+（y-1）²=2，则C上各点到l的距离的最小值为    ．

12. 难度：中等

把函数y=cosx-sinx的图象沿向量=（-m，0）（其中m＞0）的方向平移后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是    ．

13. 难度：中等

如图，平面内有三个向量、、，其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||=||=1，||=，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为    ．

14. 难度：中等

定义在R上的偶函数f（x），满足以f（x+2）=-f（x）且在[0，2]上是减函数，若方程f（x）=m（m＞0）在区间[-2，6]上有四个不同的根x₁，x₂，x₃，x₄，则x₁+x₂+x₃+x₄=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

设函数f（x）=cos（2x+）+sin²x．
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期．
（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=，f（）=-，且C为非钝角，求sinA．

16. 难度：中等

已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）求数列{2^a_n}的前n项和S_n．

17. 难度：中等

设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b组成数对（a，b），并构成函数f（x）=ax²-4bx+1
（Ⅰ）写出所有可能的数对（a，b），并计算a≥2，且b≤3的概率；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

18. 难度：中等

已知椭圆C以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点，且离心率
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）过点斜率为k的直线l₁与椭圆C有两个不同交点P、Q，求k的范围
（Ⅲ）设椭圆C与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在直线l₁，满足（Ⅱ）中的条件且使得向量与垂直？如果存在，写出l₁的方程；如果不存在，请说明理由

19. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x•（ax²-2x-2），a∈R且a≠0，当a＞0时，求函数f（|cosx|）的最大值和最小值．

20. 难度：中等

设集合W由满足下列两个条件的数列{a_n}构成：
①；②存在实数M，使a_n≤M．（ n为正整数）
（Ⅰ）在只有5项的有限数列{a_n}、{b_n}中，其中a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，a₅=5；b₁=1，b₂=4，b₃=5，b₄=4，b₅=1，试判断数列{a_n}、{b_n}是否为集合W中的元素；
（Ⅱ）设{c_n}是等差数列，S_n是其前n项和，c₃=4，S₃=18，证明数列{S_n}∈W；并写出M的取值范围；
（Ⅲ）设数列{d_n}∈W，且对满足条件的常数M，存在正整数k，使d_k=M．
求证：d_k+1＞d_k+2＞d_k+3．