选修2-2综合测试（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数a+bi与复数c+di的积是实数的充要条件是（ ）
A．ad+bc=0
B．ac+bd=0
C．ac=bd
D．ad=bc

2. 难度：中等

函数y=x³-3x²-9x（-2＜x＜2）有（ ）
A．极大值5，极小值-27
B．极大值5，极小值-11
C．极大值5，无极小值
D．极小值-27，无极大值

3. 难度：中等

函数单调递增区间是（ ）
A．（0，+∞）
B．（-∞，1）
C．
D．（1，+∞）

4. 难度：中等

下列计算错误的是（ ）
A．∫_-π^πsinxdx=0
B．∫¹=
C．cosxdx=2cosxd
D．∫_-π^πsin²xdx=0

5. 难度：中等

计算的值为（ ）
A．-1
B．1-2i
C．1+2i
D．1

6. 难度：中等

函数f（x）=x³+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为（ ）
A．10
B．5
C．-1
D．

7. 难度：中等

有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（ ）
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．非以上错误

8. 难度：中等

若z₁，z₂∈C，z₁+z₂是（ ）
A．纯虚数
B．实数
C．虚数
D．不能确定

9. 难度：中等

设z=log₂（m²-3m-3）+ilog₂（m-3）（m∈R），若z对应的点在直线x-2y+1=0上，则m的值是（ ）
A．
B．
C．
D．15

10. 难度：中等

用数学归纳法证明不等式“++…+＞（n＞2）”时的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边（ ）
A．增加了一项
B．增加了两项
C．增加了两项，又减少了一项
D．增加了一项，又减少了一项

11. 难度：中等

定义复数的一种运算z₁*z₂=（等式右边为普通运算），若复数z=a+bi，且正实数a，b满足a+b=3，则z*最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V_甲和V_乙（如图所示）．那么对于图中给定的t和t₁，下列判断中一定正确的是（ ）
A．在t₁时刻，甲车在乙车前面
B．t₁时刻后，甲车在乙车后面
C．在t时刻，两车的位置相同
D．t时刻后，乙车在甲车前面

二、填空题

13. 难度：中等

复数在复平面内，z所对应的点在第    象限．

14. 难度：中等

垂直于直线2x-6y+1=0并且与曲线y=x³+3x²-5相切的直线方程是    

15. 难度：中等

在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm处，则克服弹力所作的功是    J．（设比例系数为k）

16. 难度：中等

若Rt△ABC中两直角边为a、b，斜边c上的高为h，则，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P-ABC，PO为棱锥的高，记M=，N=，那么M、N的大小关系是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．

18. 难度：中等

已知如下等式：，，，…当n∈N^*时，试猜想1²+2²+3²+…+n²的值，并用数学归纳法给予证明．

19. 难度：中等

请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心o₁的距离为多少时，帐篷的体积最大？

20. 难度：中等

设函数f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值点．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-alnx（常数a＞0），g（x）=e^x-x．
（1）证明：e^a＞a；
（2）当a＞2e时，讨论函数f（x）在区间（1，e^a）上零点的个数（e为自然对数的底数）．

22. 难度：中等

（1）已知函数f（x）=-x²+4（x∈（-1，2）），P、Q是f（x）图象上的任意两点．
①试求直线PQ的斜率k_PQ的取值范围；
②求f（x）图象上任一点切线的斜率k的范围；
（2）由（1）你能得出什么结论？（只须写出结论，不必证明），试运用这个结论解答下面的问题：已知集合M_D是满足下列性质函数f（x）的全体：若函数f（x）的定义域为D，对任意的x₁，x₂∈D，（x₁≠x₂）有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|．
①当D=（0，1）时，f（x）=lnx是否属于M_D，若属于M_D，给予证明，否则说明理由；
②当，函数f（x）=x³+ax+b时，若f（x）∈M_D，求实数a的取值范围．