《立体几何》2010年同步训练（2）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

有以下三个命题：
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；
③若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交，其中所有正确命题的序号是     ．

2. 难度：中等

下列命题中正确的是    ．
①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R，则P、Q、R三点共线；
②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；
③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面．

3. 难度：中等

对于空间三条直线，有下列四个条件：
①三条直线两两相交且不共点：
②三条直线两两平行；
③三条直线共点；
④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．
其中，使三条直线共面的充分条件有     ．

4. 难度：中等

对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得    ．
①a⊂α，b⊂α ②a⊂α，b∥α
③a⊥α，b⊥α ④a⊂α，b⊥α

5. 难度：中等

正方体AC₁中，E、F分别是线段C₁D、BC的中点，则直线A₁B与直线EF的位置关系是    ．

6. 难度：中等

设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：
①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；
②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；
③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；
④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β．
其中正确命题的序号是    ．

7. 难度：中等

给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是    ．

8. 难度：中等

如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是    ．
①AC⊥BE；
②EF∥平面ABCD；
③三棱锥A-BEF的体积为定值；
④异面直线AE，BF所成的角为定值．

9. 难度：中等

如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，A、B到l的距离分别是a和b，AB与α、β所成的角分别是θ和φ，AB在α、β内的射影分别是m和n．若a＞b，则θ与φ的大小关系为    ，m与n的大小关系为    ．

二、解答题

10. 难度：中等

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为AB的中点，N为BB₁的中点，O为平面BCC₁B₁的中心．
（1）过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q（只写作法，不必证明）；
（2）求PQ的长．

11. 难度：中等

如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC，BE，G，H分别为FA，FD的中点
（Ⅰ）证明：四边形BCHG是平行四边形；
（Ⅱ）C，D，F，E四点是否共面？为什么？
（Ⅲ）设AB=BE，证明：平面ADE⊥平面CDE．