2008-2009学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若sinα＜0且tanα＞0，则α是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角

2. 难度：中等

对于向量、、和实数λ，下列命题中真命题是（ ）
A．若²=²，则||=||
B．若•=•，则=
C．若•=0，则=0或=0
D．若λ=0，则λ=0

3. 难度：中等

设函数f（x）的图象关于点（2，1）对称，且存在反函数f^-1（x）．若f（5）=0，则f^-1（2）的值是（ ）
A．-1
B．1
C．2
D．3

4. 难度：中等

已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，下列命题中的真命题是（ ）
A．如果m⊂α，n⊂β，m∥n，那么α∥β
B．如果m⊂α，n⊂β，α∥β，那么m∥n
C．如果m⊂α，n⊂β，α∥β且m，n共面，那么m∥n
D．如果m∥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β

5. 难度：中等

从原点向圆x²+y²-8y+12=0引两条切线，则两条切线所夹的劣弧的长是（ ）
A．
B．
C．
D．π

6. 难度：中等

若集合A={x|x²-5x+4＜0}，B={x||x-a|＜1}，则“a∈（2，3）”是“B⊆A”的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

7. 难度：中等

在R上可导的函数f（x）的图象如图所示，则关于x的不等式x•f′（x）＜0的解集为（ ）
A．（-1，0）∪（1，+∞）
B．（-∞，-1）∪（0，1）
C．（-2，-1）∪（1，2）
D．（-∞，-2）∪（2，+∞）

8. 难度：中等

已知a，b是大于零的常数，则当x∈R+，求函数f（x）=的最小值（ ）
A．4ab
B．（+）²
C．（a-b）²
D．2（a²+b²）

二、填空题

9. 难度：中等

设i为虚数单位，（1+i）（1-2i）=    ．

10. 难度：中等

展开式中的常数项是    ．

11. 难度：中等

从5名学生中选出3人参加数学、物理、化学三科竞赛，每科1人．若学生甲不能参加物理竞赛，则不同的参赛方案共有    种（用数字作答）．

12. 难度：中等

直线4x+y-9=0与x-y-1=0的公共点A的坐标是    ；设动点P的坐标（x，y）满足约束条件且O为坐标原点，则的最小值为    ．

13. 难度：中等

已知双曲线的右焦点为F，Q为双曲线左准线上的点，且QF交双曲线于第一象限一点P，若O为坐标原点，且OP垂直平分FQ，则双曲线的离心率e=    ．

14. 难度：中等

给出如下三角形数表：

此数表满足：
①第n行首尾两数均为n，
②表中数字间的递推关系类似于杨辉三角，即除了“两腰”上的数字以外，每一个数都等于它上一行左右“两肩”上的两数之和．第n（n≥2）行第n-1个数是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，且满足sinC-sinBcosA=0．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若cos=，求的值．

16. 难度：中等

某高等学校自愿献血的50位学生的血型分布的情况如下表：

血型	A	B	AB	O
人数	20	10	5	15

（Ⅰ）从这50位学生中随机选出2人，求这2人血型都为A型的概率；
（Ⅱ）从这50位学生中随机选出2人，求这2人血型相同的概率；
（Ⅲ）现有一位血型为A型的病人需要输血，要从血型为A，O的学生中随机选出2人准备献血，记选出A型血的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

17. 难度：中等

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AA₁=4，AB=2，E是棱CC₁上的一个动点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面AA₁D₁D；
（Ⅱ）当CE=1时，求二面角B-ED-C的大小；
（Ⅲ）当CE等于何值时，A₁C⊥平面BDE．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，点P（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上，数列{b_n}满足，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=-a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

19. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，F₁，F₂分别为椭圆C的左右焦点，且F₂到椭圆C的右准线l的距离为1，点P为l上的动点，直线PF₂交椭圆C于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求△F₁AB的面积S的取值范围；
（Ⅲ）设，，求证λ+μ为定值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=（x-1）²-aln|x-1|（a∈R，a≠0）．
（Ⅰ）当a=8时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[e+1，e²+1]上的最小值．