2009-2010学年吉林省吉林市高三（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合M={x|-1＜x≤1}，N={x|0＜x＜2}，则M∩N=（ ）
A．{x|-1＜x＜2x}
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|-1＜x≤1}
D．∅

2. 难度：中等

已知i是虚数单位，复数的虚部是（ ）
A．-2i
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知双曲线的焦点分别为F₁（-5，0）、F₂（5，0），若双曲线存在上一点P满足，则此双曲线的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

阅读右边的程序框图，若输入的a、b、c分别是1、2、3，则输出的a、b、c分别是（ ）

A．3、1、2
B．1、2、3
C．2、1、3
D．3、2、1

5. 难度：中等

化简=（ ）
A．
B．
C．-1
D．1

6. 难度：中等

右图阴影部分的面积为（ ）

A．
B．1
C．e
D．2

7. 难度：中等

已知三条不同直线m，n，l，三个不同平面α，β，γ，有下列命题：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；
②若α∥β，l⊂α，则l∥β；
③α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
④若m，n为异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β．
其中正确的命题个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

8. 难度：中等

高三某班50名学生，在一模数学考试中，成绩全部介于70分与130分之间，将成绩按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于70分且小于80分；第二组，成绩大于等于80分且小于90分；…第六组，成绩大于等于120分且小于等于130分．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．则90分以下（不含90分）的人数为（ ）

A．9
B．10
C．18
D．19

9. 难度：中等

已知△ABC的面积为，AC=2，∠BAC=60°则∠ACB=（ ）
A．30°
B．60°
C．90°
D．150°

10. 难度：中等

已知实数x，y满足，则（x-1）²+y²的最大值为（ ）
A．
B．2
C．4
D．5

11. 难度：中等

如图所示，点P是函数y=2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0）的图象的最高点，M、N是图象与x轴的交点，若，则ω=（ ）

A．8
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知定义在R上的偶函数f （x）在[0，+∞]上是增函数，则使不等式f （2x-1）≤f （x-2）成立的实数x的取值范围是（ ）
A．[-1，1]
B．（-∞，1）
C．[0，1]
D．[-1，+∞）

二、填空题

13. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为    ．

14. 难度：中等

x²（1-x）⁶展开式中含x⁴项的系数为    ．

15. 难度：中等

已知单位向量，满足：（k＞0），则||的最大值为     ．

16. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，直线y=与椭圆相交于A、B两点，点M在椭圆上，且满足．则b=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知在公比为实数的等比数列{a_n}中，a₃=4，且a₄，a₅+4，a₆成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求的最大值．

18. 难度：中等

在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD和
直角梯形BDEF所在的平面互相垂直，EF∥BD，
ED⊥BD，AD=，EF=ED=1，点P为线段
EF上任意一点．
（Ⅰ）求证：CF⊥AP；
（Ⅱ）求二面角B-AF-E的余弦值．

19. 难度：中等

道路交通安全法中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q＜80时，为酒后驾车；当Q≥80时，为醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量，其中查处酒后驾车的有6人，查处醉酒驾车的有2人，依据上述材料回答下列问题：
（1）分别写出违法驾车发生的频率和醉酒驾车占违法驾车总数的百分数．
（2）从违法驾车的8人中抽取2人，求取到醉酒驾车人数的分布列和期望，并指出所求期望的实际意义．
（3）饮酒后违法驾驶机动车极易发生交通事故，假设酒后驾车和醉酒驾车发生交通事故的概率分别是0.1和0.25，且每位驾驶员是否发生交通事故是相互独立的．依此计算被查处的8名驾驶员中至少有一人发生交通事故的概率．（精确到0.01）并针对你的计算结果对驾驶员发出一句话的倡议．

20. 难度：中等

已知抛物线C：y²=4x，过点A（-1，0）的直线交抛物线C于P、Q两点，设．
（Ⅰ）若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；
（Ⅱ）若λ∈[，]求当|PQ|最大时，直线PQ的方程．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=（2-a）lnx++2ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；
（Ⅲ）若对任意a∈（-3，-2）及x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求实数m的取值范围．

22. 难度：中等

如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．
（1）求证：FB=FC；
（2）求证：FB²=FA•FD；
（3）若AB是△ABC外接圆的直径，且∠EAC=120°，BC=6，求AD的长．

23. 难度：中等

在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴为正半轴为极轴，建立极坐标系．
设曲线C：（α为参数）；直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4．
（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的最大距离．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=|x+1|-|x-3|，解不等式|f（x）|≤4．