2006-2007学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U={1，3，5，7}，M={1，|a-5|}，M⊆U，C_UM={5，7}，则a的值为（ ）
A．2或-8
B．-8或-2
C．-2或8
D．2或8

2. 难度：中等

如果函数解析式是f（x）=log₂x+3，且x∈[1，+∞），那么f^-1（x）的定义域是（ ）
A．[3，+∞）
B．[1，+∞）
C．（0，1）
D．R

3. 难度：中等

S_n是数列{a_n}的前n项和，则“数列{S_n}为等差数列”是“数列{a_n}为常数列”的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要

4. 难度：中等

设x，y满足，则S=x²+y²-6x+6y+18的最大值是（ ）
A．17
B．20
C．26
D．30

5. 难度：中等

若，且，则向量与的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

6. 难度：中等

在空间中有如下命题：
①互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线；
②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β
③若平面α与平面β的交线为m，平面α内一条直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β
④若点P到三角形的三个顶点距离相等，则点P的该三角形所在平面的射影是该三角形的外心
其中正确的命题个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

在△ABC中，已知a=2bcosC，那么这个三角形一定是（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形

8. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（m＞0，n＞0）有相同的焦点（-c，0）和（c，0），若c是a、m的等比中项，n²是2m²与c²的等差中项，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

不等式的解集是    ．

10. 难度：中等

的展开式有10项，则n的值是    ，其中常数项是    ．（用数字作答）

11. 难度：中等

已知点P（m，n）是位于第一象限，是在直线x+y-1=0上，则使不等式恒成立的实数a的取值范围是    

12. 难度：中等

数列{a_n}的通项公式是，则数列的前2m（m为正整数）项和是    ．

13. 难度：中等

五位同学参加比赛，决出了第一到第五的名次，评委告诉甲、乙两位同学，你们俩都没拿到冠军，但乙不是最差的，则五位同学不同排名顺序的种数是    ．（用数字作答）．

14. 难度：中等

在0，1，2三个数中任取两个，组成两位数，则在组成的两位数中是奇数的概率为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知角α为锐角，且sin²α-sinαcosα-2cos²α=0．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求．

16. 难度：中等

甲、乙两名篮球运动员，甲投篮命中的概率为0.7，乙投篮命中的概率为0.8，两人是否投中相互之间没有影响．
（Ⅰ）两人各投一次，求只有一人命中的概率；
（Ⅱ）两人各投两次，甲投中一次且乙投中两次的概率．

17. 难度：中等

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AB=BC=3，BB₁=，连B₁C，过点B作B₁C的垂线，垂足为E且交CC₁于F．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥BF；
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面BDF；
（Ⅲ）求二面角F-BD-C的大小．

18. 难度：中等

设函数．
（1）求函数f（x）的单调区间、极值．
（2）若当x∈[a+1，a+2]时，恒有|f′（x）|≤a，试确定a的取值范围．

19. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，已知．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在一个最小正整数M，当n＞M时，S_n＞Tn恒成立？若存在求出这个M值，若不存在，说明理由．
（Ⅲ）设，求数列{c_n}的前n项和U_n及其取值范围．

20. 难度：中等

已知点Q位于直线x=-3右侧，且到点F（-1，0）与到直线x=-3的距离之和等于4．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹C的方程；
（Ⅱ）直线L过点M（1，0）且交曲线C于
A、B两点（A、B不重合），点P满足，其中点E的坐标为（x，0），试求x的取值范围．