2009-2010学年湖北省荆州市松滋二中高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

M={a，b}，则满足M∪N={a，b，c}的集合N的个数为（ ）
A．3
B．4
C．7
D．8

2. 难度：中等

已知下列结论：
（1）命题“若（x-1）（y-2）=0，则（x-1）²+（y-3）²=0”的逆命题为真；
（2）命题“若x＞0，y＞0，则xy＞0”的否命题为假；
（3）命题“若a＜0，则x²-2x+a=0有实数根”的逆否命题为真；
（4）“”是“x=3或x=2”的充分不必要条件．
其中正确结论的个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

3. 难度：中等

设函数y=f（x）定义在实数集上，则函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于（ ）
A．直线y=0对称
B．直线x=0对称
C．直线y=1对称
D．直线x=1对称

4. 难度：中等

若函数f（x）=x³-3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-2，2）
B．[-2，2]
C．（-∞，-1）
D．（1，+∞）

5. 难度：中等

设函数f（x）=sin（2x+），则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的图象关于直线x=对称
B．f（x）的图象关于点（，0）对称
C．把f（x）的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象
D．f（x）的最小正周期为π，且在[0，]上为增函数

6. 难度：中等

斜率为的直线l与椭圆交与不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量，其中，若，且0≤μ≤λ≤1，那么C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，∠ACC₁=60°，∠BCC₁=45°，侧棱CC₁的长为1，则该三棱柱的高等于（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₁＞0，3a₈=5a₁₃，则前n项的和S_n中最大的是（ ）
A．S₁₀
B．S₁₁
C．S₂₀
D．S₂₁

10. 难度：中等

定义一个法则f：（m，n）→（m，）（n≥0），在法则f的作用下，点P（m，n）对应点P′（m，）．现有A（-1，2），B（1，0）两点，当点P在线段AB上运动时，其对应点P′的轨迹为G，则G与线段AB公共点的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

二、填空题

11. 难度：中等

若（1-2x）²⁰¹⁰=a+a₁x+…+a₂₀₁₀x²⁰¹⁰（x∈R），则的值为    ．

12. 难度：中等

已知方程x²-（2i-1）x+2p-i=0有实根，则实数p的取值集合为    ．

13. 难度：中等

给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心，以1半径的圆弧AB上变动．若=x+y，其中x，y∈R，则x+y的最大值是    ．

14. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是棱PC，PD的中点，下列结论：
（1）棱AB与PD所在的直线垂直；
（2）平面PBC与平面PCD垂直；
（3）△PCD的面积大于△PAB的面积；
（4）直线AE与BF是异面直线．
以上结论正确的是     ．（写出所有正确结论的编号）

15. 难度：中等

甲，乙，丙三人练习传球，首先由甲发球，连续10次传球后，球又回到甲手中的不同传球路线有     种．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数．
（1）若函数y=f（x）的图象关于直线x=a（a＞0）对称，求a的最小值；
（2）若存在，使mf（x）-2=0成立，求实数m的取值范围．

17. 难度：中等

某校调查了高三年级1000位同学的家庭月平均收入情况，得到家庭月平均收入频率分布直方图如图．
（1）某企业准备给该校高三同学发放助学金，发放规定如下：家庭收入在4000元以下的每位同学得助学金2000元，家庭收入在（4000，6000]（元）间的每位同学得助学金1500元，家庭收入在（6000，8000]（元）间的每位同学得助学金1000元，家庭收入在（8000，10000]（元），间的同学不发助学金，记该年级某位同学所得助学金为ξ元，写出ξ的分布列，并计算该企业发放这个年级的助学金约需要的资金；
（2）记该年级某班同桌两位同学所得助学金之差的绝对值为η元，求P（η＞500）．

18. 难度：中等

如图所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD．
（1）求证：AP∥平面EFG；
（2）求二面角G-EF-D的大小．

19. 难度：中等

设函数f（x）=xe^kx（k≠0）．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数f（x）在区间（-1，1）内单调递增，求k的取值范围．

20. 难度：中等

设直线l：y=x+m，双曲线，双曲线的离心率为，l与E交于P，Q两点，直线l与y轴交于点R，且
（1）证明：4a²=m²+3；
（2）求双曲线E的方程；
（3）若点F是双曲线E的右焦点，M，N是双曲线上两点，且，求实数λ的取值范围．

21. 难度：中等

定义数列如下：a₁=2，a_n+1=a_n²-a_n+1，n∈N^*．证明：
（1）当n＞2，且n∈N^*时，有a_n+1=a_n•a_n-1•…•a₂•a₁+1成立；
（2）．