2010-2011学年江苏省苏北四市高三（上）第一次摸底数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设复数z满足z（2-3i）=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为    ．

2. 难度：中等

命题“任意偶数是2的倍数”的否定是    ．

3. 难度：中等

已知锐角（α+）的终边经过点P（1，4），则cosα=    ．

4. 难度：中等

在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对（x，y）的概率是    ．

5. 难度：中等

直线y=kx+3与圆（x-3）²+（y-2）²=4相交于M，N两点，若MN≥2，则k的取值范围是    ．

6. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的顶点P在底面的射影恰好是底面菱形ABCD的两对角线的交点，若AB=3，PB=4，则PA长度的取值范围为    ．

7. 难度：中等

函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2-x），且当x∈（-∞，1）时，（x-1）f'（x）＜0则f（0），，f（3）的大小关系是（要求用“＜”连接）    ．

8. 难度：中等

设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为10，则+的最小值为    ．

9. 难度：中等

定义：F（x，y）=y^x（x＞0，y＞0），已知数列{a_n}满足：a_n=（n∈N^*），若对任意正整数n，都有a_n≥a_k（k∈N^*）成立，则a_k的值为    ．

10. 难度：中等

在直角坐标系中，如果两点A（a，b），B（-a，-b）函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作一组）．函数g（x）=关于原点的中心对称点的组数为    ．

11. 难度：中等

已知集合A={0，1}，B={a²，2a}，其中a∈R，我们把集合{x|x=x₁+x₂，x₁∈A，x₂∈B}，记作A×B，若集合A×B中的最大元素是2a+1，则a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，设直线和圆x²+y²=n²相切，其中m，n∈N，0＜|m-n|≤1，若函数f（x）=m^x+1-n的零点x∈（k，k+1）k∈Z，则k=    ．

13. 难度：中等

如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“Л型函数”．则下列函数：①；②g（x）=sinx，x∈（0，π）；③h（x）=lnx，x∈[2，+∞），其中是“Л型函数”的序号为    ．

14. 难度：中等

已知函数y=f（x）是定义在R上恒不为0的单调函数，对任意的x，y∈R，总有f（x）f（y）=f（x+y）成立，若数列{a_n}的n项和为S_n，且满足a₁=f（0），（n∈N^*），则S_n=    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知向量=（3，1），=（-1，a），a∈R
（1）若D为BC中点，=（m，2），求a、m的值；
（2）若△ABC是直角三角形，求a的值．

16. 难度：中等

如图边长为4的正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求证：PA∥平面MBD．

17. 难度：中等

某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置，A车间有100名员工，B车间有400名员工，现要在公路AC上找一点D，修一条公路BD，并在D处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A、B、C中任意两点间的距离均是1km，设∠BDC=α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S．
（1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；
（2）问食堂D建在距离A多远时，可使总路程S最少？

18. 难度：中等

已知椭圆和圆O：x²+y²=b²，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．
（1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；
（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围；
（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：为定值．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=a（a＞0）．数列{b_n}满足b_n=a_na_n+1（n∈N^*）．
（1）若{a_n}是等差数列，且b₃=12，求a的值及{a_n}的通项公式；
（2）若{a_n}是等比数列，求{b_n}的前项和S_n．

20. 难度：中等

已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，且g（1）=-1．令．
（1）求g（x）的表达式；
（2）若∃x＞0使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围；
（3）设1＜m≤e，H（x）=f（x）-（m+1）x，证明：对∀x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）-H（x₂）|＜1．

21. 难度：中等

已知在二阶矩阵M对应变换的作用下，四边形ABCD变成四边形A′B′C′D′，其中A（1，1），B（-1，1），C（-1，-1），A′（3，-3），B′（1，1），D′（-1，-1）．
（1）求出矩阵M；
（2）确定点D及点C′的坐标．

22. 难度：中等

已知圆O₁和圆O₂的极坐标方程分别为ρ=2，．
（1）把圆O₁和圆O₂的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

23. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，
AB=BC=，BB₁=3，D为A₁C₁的中点，F在线段AA₁上．
（1）AF为何值时，CF⊥平面B₁DF？
（2）设AF=1，求平面B₁CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

24. 难度：中等

已知（x+1）ⁿ=a+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，（其中n∈N^*）
（1）求a及S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n；
（2）试比较S_n与（n-2）2ⁿ+2n²的大小，并说明理由．