2010-2011学年湖南省怀化市会同县曲塘中学高三（上）第一次月考数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于    ．

2. 难度：中等

△ABC三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量，，若，则角C的大小为    ．

3. 难度：中等

函数y=|x-a|的对称轴是x=3，则a的值为    ．

4. 难度：中等

已知曲线C：，则在x=0处切线方程为     ．

5. 难度：中等

若f（x）=log_a（2-ax）在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是    ．

6. 难度：中等

设f（x）=cosx，f₁（x）=f′（x），f₂（x）=f′₁（x），…，f_n+1（x）=f′_n（x），n∈N^*，则函数y=|4f₂₀₀₈（x）•f₂₀₀₉（x）-1|的最小正周期为    ．

7. 难度：中等

已知，则sin2a=    ．

8. 难度：中等

关于直线m、n和平面a、b有以下四个命题：
①当m∥a，n∥b，a∥b时，m∥n；
②当m∥n，m Ì a，n⊥b时，a⊥b；
③当a∩b=m，m∥n时，n∥a且n∥b；
④当m⊥n，a∩b=m时，n⊥a或n⊥b．
其中假命题的序号是    ．

9. 难度：中等

已知向量，，其中O为坐标原点，若||≥2||对任意的实数α，β都成立，则实数λ的取值范围是    ．

10. 难度：中等

若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列四个函数：①f₁（x）=sinx+cosx，②，③f₃（x）=sinx，④，其中“同形”函数有     ．

11. 难度：中等

以下伪代码：
Read  x；
If  x≤-1  Then；
f（x）←x+2；
Else；
If-1＜x≤1  Then；
f（x）←x²；
Else；f（x）←-x+2；
End  If；
Print  f（x）；
根据以上伪代码，若函数g（x）=f（x）-m在R上有且只有两个零点，则实数m的取值范围是    ．

12. 难度：中等

对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：…．仿此，若m³的“分裂数”中有一个是59，则m的值为    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[-2，+∞），部分对应值如下左表，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是    ．

x	-2		4
f（x）	1	-1	1

14. 难度：中等

数据1，2，x，-1，-2的平均数是0，则这组数据的方差是     ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知
（1）当时，求函数的最小正周期；
（2）当∥，α-x，α+x都是锐角时，求cos2α的值．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+3ax²+b有极值，且极大值点与极小值点分别为A、B，又线段AB（不含端点）与函数f（x）图象交于点（1，0）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=2x²+4x-k，已知对任意x₁、x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）|≤|g（x₂）|，求k的取值．

17. 难度：中等

如图，菱形ABCD所在平面与矩形ACEF所在平面相互垂直，点M是线段EF的中点．
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）当为何值时，平面DEF⊥平面BEF？并证明你的结论．

18. 难度：中等

某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形QPRE（线段EQ和RP为两个底边），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线段．试求该高科技工业园区的最大面积．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x+，g（x）=x-，a＜2-3．
（1）求证：函数f（x）在（0，1]上单调递增；
（2）函数g（x）在（0，1]上单调递减，求a的取值范围；
（3）若对任意x∈（0，1]，函数h（x）=x|x-b|+a的图象在x轴下方，求b的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}对于任意p，q∈N^*，都有a_p+a_q=a_p+q，且a₁=2．
（1）求a_n的表达式；
（2）将数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀）；（a₁₁），（a₁₂，a₁₃），（a₁₄，a₁₅，a₁₆），（a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀）；（a₂₁），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
（3）设A_n为数列的前n项积，是否存在实数a，使得不等式对一切n∈N^*都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．