2006-2007学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U={1，3，5，7}，M={1，|a-5|}，M⊆U，C_UM={5，7}，则a的值为（ ）
A．2或-8
B．-8或-2
C．-2或8
D．2或8

2. 难度：中等

如果函数解析式是f（x）=log₂x+3，且x∈[1，+∞），那么f^-1（x）的定义域是（ ）
A．[3，+∞）
B．[1，+∞）
C．（0，1）
D．R

3. 难度：中等

“角θ为第三象限角”是“sinθtanθ＜0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

设P（x，y）是不等式组所表示平面区域内任意一点，则目标函数z=2x+y的最大值是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

5. 难度：中等

若，且，则向量与的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°

6. 难度：中等

在空间中有如下命题：
①互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线；
②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β
③若平面α与平面β的交线为m，平面α内一条直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β
④若点P到三角形的三个顶点距离相等，则点P的该三角形所在平面的射影是该三角形的外心
其中正确的命题个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

在△ABC中，已知a=2bcosC，那么这个三角形一定是（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形

8. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（m＞0，n＞0）有相同的焦点（-c，0）和（c，0），若c是a、m的等比中项，n²是2m²与c²的等差中项，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

不等式的解集是    ．

10. 难度：中等

已知f（n）=1+3+5+…+（2n-5），且n是大于2的正整数，则f（10）=    ．

11. 难度：中等

的展开式中常数项是    ．（用数字作答）

12. 难度：中等

从0，1，2，3，4这五个数字中，任取三个组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数是    ．（用数字作答）

13. 难度：中等

已知点P（m，n）是直线x+y+2=0上任意一点，则的最小值是   

14. 难度：中等

已知函数f（x）=x²，x∈[0，2]，函数f（x）+g（x）的图象如图所示，则函数g（x）=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知角α为锐角，且sin²α-sinαcosα-2cos²α=0．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求．

16. 难度：中等

甲、乙两名篮球运动员，甲投篮命中的概率为0.7，乙投篮命中的概率为0.8，两人是否投中相互之间没有影响．
（Ⅰ）两人各投一次，求只有一人命中的概率；
（Ⅱ）两人各投两次，甲投中一次且乙投中两次的概率．

17. 难度：中等

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AB=BC=3，BB₁=，连B₁C，过点B作B₁C的垂线，垂足为E且交CC₁于F．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥BF；
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面BDF；
（Ⅲ）求二面角F-BD-C的大小．

18. 难度：中等

从圆x²+y²=4上任意一点P作x轴的垂线，垂足为Q，点M在线段PQ上，且．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）如果点A（-3，4）关于直线y=x+4的对称点B在曲线C上，求λ的值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=2x³+ax与g（x）=bx²+c的图象都过点P（2，0），且在点P处有相同的切线．
（Ⅰ）求实数a，b，c的值；
（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）+g（x），求F（x）在区间[-3，0]上的最大值和最小值．

20. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，已知．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在一个最小正整数M，当n＞M时，S_n＞Tn恒成立？若存在求出这个M值，若不存在，说明理由．