2009-2010学年黑龙江省鹤岗一中高一（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（ ）
A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l
B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ
C．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α
D．n⊥α，n⊥β，m⊥α

2. 难度：中等

已知一个几何体是由上下两部分构成的一个组合体，其三视图如图所示，则这个组合体的上下两部分分别是（ ）

A．上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱
B．上部是一个圆锥，下部是一个圆柱
C．上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱
D．上部是一个四棱锥，下部是一个圆锥

3. 难度：中等

如图，正三棱锥SABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（ ）

A．90°
B．60°
C．45°
D．30°

4. 难度：中等

如图是正方体的平面展开图．在这个正方形中，
①BM与ED平行；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°角；
④DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
A．①②③
B．②④
C．③④
D．②③④

5. 难度：中等

如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）
A．2+
B．
C．
D．1+

6. 难度：中等

图中的几何体是由哪个平面图形绕虚线旋转得到的（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图所示，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD、点M为平面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC、则点M在正方形ABCD内的轨迹为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．现有以下命题：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中真命题的个数为（ ）

A．3
B．2
C．1
D．0

11. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=6，AD=4，AA₁=3，分别过BC、A₁D₁的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，．若V₁：V₂：V₃=1：4：1，则截面A₁EFD₁的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．16

12. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ）
A．32π
B．16π
C．12π
D．8π

二、填空题

13. 难度：中等

球的半径扩大为原来的2倍，它的体积扩大为原来的    倍．

14. 难度：中等

与空间不共面四点距离相等的平面有    个．

15. 难度：中等

如图所示为长方体木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由    块木块堆成．

16. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，则下列四个命题：
①P在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁PC的体积不变；
②P在直线BC₁上运动时，直线AP与平面ACD₁所成角的大小不变；
③P在直线BC₁上运动时，二面角P-AD₁-C的大小不变；
④M是平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁距离相等的点，则M点的轨迹是过D₁点的直线，其中真命题的编号是    ．（写出所有真命题的编号）

三、解答题

17. 难度：中等

如图，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积和圆锥的体积．

18. 难度：中等

如图，在四面体ABCD中，已知所有棱长都为a，点E、F分别是AB、CD的中点．
（1）求线段EF的长；（EF是两异面直线AB与CD的公垂线）；
（2）求异面直线BC、AD所成角的大小．

19. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，cos∠BAC=．
（1）求证：BC⊥AC₁；
（2）若D是AB的中点，求证：AC₁∥平面CDB₁．

20. 难度：中等

如图在三棱锥S-ABC中∠ACB=90°，SA⊥面ABC，AC=2，，．
（1）证明SC⊥BC．
（2）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小．

21. 难度：中等

如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=AD=a，G是EF的中点，
（1）求证平面AGC⊥平面BGC；
（2）求GB与平面AGC所成角的正弦值．

22. 难度：中等

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC中点，AO交BD于E．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求二面角P-DC-B的大小；
（3）求证：平面PAD⊥平面PAB．