2008-2009学年北京市宣武区高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集为R，若集合M={x|x≥1，x∈R}，N={x|0≤x＜5，x∈R}，则N∩（∁_RM）等于（ ）
A．{x|x≥5}
B．{x|0≤x＜1}
C．{x|x＞5}
D．{x|1≤x≤5}

2. 难度：中等

在△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

函数f（x）=（x-1）²+1（x＜1）的反函数为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，a₇+a₉=16，a₄=1，则a₁₂的值是（ ）
A．15
B．30
C．31
D．64

5. 难度：中等

关于直线a、b，以及平面M、N，给出下列命题：
①若a∥M，b∥M，则a∥b；
②若a∥M，b⊥M，则a⊥b；
③若a∥b，b∥M，则a∥M；
④若a⊥M，a∥N，则M⊥N．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

6. 难度：中等

函数y=log_ax的定义域为[2，π]，若它的最大值比最小值大1，则底数a的值是（ ）
A．
B．
C．，
D．以上都不对

7. 难度：中等

△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且cos 2B+3cos（A+C）+2=0，b=，则c：sin C等于（ ）
A．3：1
B．：1
C．：1
D．2：1

8. 难度：中等

如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，，AB=AC=A₁A=1，已知G与E分别是棱A₁B₁和CC₁的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是（ ）

A．[，1）
B．[，2）
C．[1，）
D．[，）

二、填空题

9. 难度：中等

已知函数，则=    ．

10. 难度：中等

（1-2x）⁶的展开式中，x²的系数为     ；其所有项的系数之和为     ．

11. 难度：中等

设a₁=2，数列{1-2a_n}是公比为2的等比数列，则a₆=    ．

12. 难度：中等

某企业要从某下属的6个工厂中抽调8名工程技术人员组成课题攻关小组，每厂至少调1人，则这8个名额的分配方案有     种．

13. 难度：中等

已知球面上三点A，B，C，且AB=3cm，BC=4cm，AC=5cm，球的半径为cm，则球心到平面ABC的距离是     cm．

14. 难度：中等

函数y=cosx的图象按向量平移后与函数g（x）的图象重合，则函数g（x）的表达式是     ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知：=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx）．设函数f（x）=•-．（x∈R）
求：（1）f（x）的最小正周期；
（2）f（x）的单调增区间；
（3）若x∈[，]时，求f（x）的值域．

16. 难度：中等

设{a_n}是正数数列，其前n项和S_n满足S_n=（a_n-1）（a_n+3）．
（1）求a₁的值；
（3）求数列{a_n}的通项公式；
（5）对于数列{b_n}，T_n为数列{b_n}的前n项和，令b_n=，试求T_n的表达式．

17. 难度：中等

甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置上投球，命中率分别为与p，且乙投球两次均为命中的概率为．
（1）求乙投球的命中率p；
（2）求甲投三次，至少命中一次的概率；
（3）若甲、乙二人各投两次，求两人共命中两次的概率．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点．
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）求EB与底面ABCD所成角的正切值；
（3）求二面角E-BD-C的余弦值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²-c（其中a，b，c均为常数，x∈R）．当x=1时，函数f（x）的极植为-3-c．
（1）试确定a，b的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若对于任意x＞0，不等式f（x）≥-2c²恒成立，求c的取值范围．

20. 难度：中等

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数的图象上满足下面条件的任意两点．若，则点M的横坐标为．
（1）求证：M点的纵坐标为定植；
（2）若，求S_n（n≥2，n∈N*）．
（3）已知，（其中n∈N^*，又知T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜（15）λ（S_n+1+1）对于一切n∈N^*．都成立，试求λ的取值范围．