2010-2011学年湖南省株洲二中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

不等式x²-|x|≥0的解集是（ ）
A．{x|x≥1或x≤-1或x=0}
B．{x|x≥1或-1≤x≤0}
C．{x|x≥0}
D．{x|x≥-1}

2. 难度：中等

a≥0是函数f（x）=ae^x+lnx²为偶函数的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要

3. 难度：中等

为了得到函数y=2sin的图象，只要把函数y=sinx图象上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，再将纵坐标伸长到原来的2倍
B．横坐标伸长到原来的2倍，再将纵坐标缩短到原来的倍
C．横坐标缩短到原来的倍，再将纵坐标伸长到原来的倍
D．横坐标缩短到原来的倍，再将纵坐标伸长到原来的2倍

4. 难度：中等

定义在实数集上的奇函数f（x+1）满足：f（x+3）=-f（x），f（2）=1，则f（6）=（ ）
A．1
B．0
C．-1
D．-2

5. 难度：中等

电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I=Asin（ωt+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象如右图所示，则当t=秒时，电流强度是（ ）

A．-5安
B．5安
C．安
D．10安

6. 难度：中等

已知y=f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=x+，且当x∈[-3，-1]时，m≤f（x）≤n成立，则n-m的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1

7. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[-2，+∞），部分对应值如下表，

x	-2	0	4
f（x）	1	-1	1

f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示：若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．（，3）

8. 难度：中等

设首项不为零的等差数列{a_n}前n项之和是S_n，若不等式对任意{a_n}和正整数n恒成立，则实数λ的最大值为（ ）
A．0
B．
C．
D．1

二、填空题

9. 难度：中等

已知t＞0，若（2x-1）dx=6，则t=   

10. 难度：中等

已知，则的值为    ．

11. 难度：中等

已知在△ABC中，BC=1，B=，当△ABC的面积等于时，cosC=    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-a|x+b（a，b∈R），给出下列命题：
（1）当a=0时，f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称；
（2）当x＞a时，f（x）是递增函数；
（3）当0≤x≤a时，f（x）的最大值为+b．
其中正确的序号是     ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=3^x+x-5的零点x∈[a，b]，且b-a=1，a，b∈N^*，则a+b=    ．

14. 难度：中等

若向量，，（），且，则m的最小值为    ．

15. 难度：中等

给出定义：若m-＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个命题：
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为[0，]；
②函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称；
③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；
④函数y=f（x）在[-，]上是增函数．
其中正确的命题的序号    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），．
（1）若，求角α的值；
（2）若，求的值．

17. 难度：中等

已知圆C方程为：x²+y²=4．
（Ⅰ）直线l过点P（1，2），且与圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程；
（Ⅱ）过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．

18. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，直线PB与底面ABCD所成的角为45°，四棱锥P-ABCD的体积V=，E为PB的中点，点F在棱BC上移动．
（1）求证：PF⊥AE；
（2）当F为BC中点时，求点F到平面BDP的距离；
（3）在侧面PAD内找一点G，使GE⊥平面PAC．

19. 难度：中等

知数列{a_n}满足a₁=a（a为常数，a∈R），a_n+1=2ⁿ-3a_n（n∈N^*），设b_n=（n∈N^*）．
（1）求数列{b_n}所满足的递推公式；
（2）求数列{b_n}通项公式．

20. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）=x²（ax-3），其中a为常数．
（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）若函数f（x）在区间（-1，0）上是增函数，求a的取值范围；
（3）若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数，过点P（1，0）作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M，N．
（1）当t=2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；
（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n，在区间内，总存在m+1个数a₁，a₂，…，a_m，a_m+1，使得不等式g（a₁）+g（a₂）+…+g（a_m）＜g（a_m+1）成立，求m的最大值．