2009-2010学年广东省汕头市聿怀中学高一（上）期末数学试卷（必修2）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在同一直角坐标系中，函数y=a^x与y=log_ax的图象只能是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

同时抛掷两枚骰子，出现点数之积为偶数的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

若直线（3a+2）x+（1-4a）y+8=0和直线（5a-2）x+（a+4）y-7=0相互垂直，则a值为（ ）
A．0
B．1
C．0或1
D．0或-1

5. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长（包括底面边长）都是2，E，F分别是AB，A₁C₁的中点，则EF与侧棱C₁C所成的角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．2

6. 难度：中等

已知a，b，c是直线，α，β是平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若a∥α，b⊂α，则a∥b
B．若α⊥β，a⊂α，则a⊥β
C．若a⊥α，α∥β，则a⊥β
D．若a⊥c，b⊥c，则a∥b

7. 难度：中等

若关于x的方程2x²-3x+m=0的两根满足x₁∈（-2，-1），x₂∈（2，3），则m的取值范围是（ ）
A．
B．（-9，-5）
C．
D．（-14，-2）

8. 难度：中等

若⊙O₁：x²+y²=5与⊙O₂：（x-5）²+y²=20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

过点P（2，1）作圆C：x²+y²-ax+2ay+2a+1=0的切线有两条，则a取值范围是（ ）
A．a＞-3
B．a＜-3
C．-3＜a＜
D．-3＜a＜或a＞2

10. 难度：中等

如图，在正方体中，边长为a，EFGH分别是的CC₁、C₁D₁、D₁D、DC的中点，N是BC的中点，M在四边形GHEF上及其内部运动，若MH∥平面A₁BD，则点M轨迹的长度是（ ）

A．a
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

计算：．

12. 难度：中等

已知实数x、y满足x+2y-3=0，则的最小值是     ．

13. 难度：中等

以原点为圆心，并与圆（x-1）²+（y-2）²=5相切的圆的方程是     ．

14. 难度：中等

将一张坐标纸折叠一次，使点（0，2）与点（4，0）重合，且点（7，3）与点（m，n）重合，则m+n的值是    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-9x，当x∈[n，n+1]（n∈N^*）时，f（x）所有可能取的整数值有且只有1个，则n=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

如图ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，M、N分别是线段AD₁和BD上的中点
（Ⅰ）证明：直线MN∥平面B₁D₁C；
（Ⅱ）设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为a，若以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD₁所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，试写出B₁、M两点的坐标，并求线段B₁M的长．

17. 难度：中等

如图，已知直线l₁：4x+y=0，直线l₂：x+y-1=0以及l₂上一点P（3，-2）．
（Ⅰ）求圆心M在l₁上且与直线l₂相切于点P的圆⊙的方程．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下；若直线l₁分别与直线l₂、圆⊙依次相交于A、B、C三点，利用代数法验证：|AP|²=|AB|•|AC|．

18. 难度：中等

已知函数
（Ⅰ）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）若x₁＜x₂，判断 f （x₁）和f （x₂）的大小，并给出证明．

19. 难度：中等

一艘轮船在以每小时16公里速度沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km处，受影响的初始范围是以台风中心为圆心半径长为7km的圆形区域，并且圆形区域的半径正以以每小时10公里的速度扩大，且圆形区域最大活动半径为47公里．已知港口位于台风中心正北60km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？假设轮船在航行过程中，不会受到台风的影响，则轮船离此时圆形区域边缘最近距离是多少？

20. 难度：中等

如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图（其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示）．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）证明：BD∥平面PEC；
（3）若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG．

21. 难度：中等

定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x，有 f （x）=x，则称x是f （x）的一个不动点．已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-1 （a≠0）．
（Ⅰ）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；
（Ⅱ）若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若y=f（x）图象上两个点A、B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+对称，求b的最小值．