《3.1 空间向量及其运算》2006年同步练习3（人教A版-选修2-1）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在以下四个式子中正确的有（ ）
+•，•，，|•|=||||
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个

2. 难度：中等

设向量、、不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是（ ）
A．{+，-，}
B．{+，-，}
C．{+，-，}
D．{++c，+，}

3. 难度：中等

在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，向量、、、是（ ）
A．有相同起点的向量
B．等长的向量
C．共面向量
D．不共面向量

4. 难度：中等

如图：在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为A₁C₁与B₁D₁的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

O、B、C为空间四个点，又、、为空间的一个基底，则（ ）
A．O、A、B、C四点不共线
B．O、A、B、C四点共面，但不共线
C．O、A、B、C四点中任意三点不共线
D．O、A、B、C四点不共面

6. 难度：中等

下列命题中不正确的命题个数是（ ）
①若A、B、C、D是空间任意四点，则有+++=0；
②|a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件；
③若a、b共线，则a与b所在直线平行；
④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若=x+y+z（其中x、y、z∈R），则P、A、B、C四点共面．
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

7. 难度：中等

已知=（1，0），=（m，m）（m＞0），则＜，＞=    ．

8. 难度：中等

如图，已知空间四边形ABCD中，=-2，=5+6-8，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则=    （用向量，，表示）．

9. 难度：中等

已知a+3b与7a-5b垂直，且a-4b与7a-2b垂直，则＜a，b＞=    ．

三、解答题

10. 难度：中等

证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得=x+y+z．

11. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角（如图）．求B、D间的距离．

12. 难度：中等

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BD₁交平面ACB₁于点E，
求证：（1）BD₁⊥平面ACB₁；
（2）BE=ED₁．

13. 难度：中等

试用向量证明三垂线定理及其逆定理．

14. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC₁⊥AB₁，BC₁⊥A₁C，求证：AB₁=A₁C．

15. 难度：中等

沿着正四面体OABC的三条棱、、的方向有大小等于1、2、3的三个力f₁、f₂、f₃．试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦．

16. 难度：中等

在空间四边形ABCD中，求证：•+•+•=0．

17. 难度：中等

如图，已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°．
（I）求点P到平面ABCD的距离，
（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小．

18. 难度：中等

A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD=4，试求MN的长．

19. 难度：中等

设A、B、C及A₁、B₁、C₁分别是异面直线l₁、l₂上的三点，而M、N、P、Q分别是线段AA₁、BA₁、BB₁、CC₁的中点．求证：M、N、P、Q四点共面