2007-2008学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x≥a}．若A⊆B，则a的范围是（ ）
A．a＜1
B．a≤1
C．a＜2
D．a≤2

2. 难度：中等

函数图象的两条相邻对称轴间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．π

3. 难度：中等

在边长为1的等边△ABC中，设=（ ）
A．
B．0
C．
D．3

4. 难度：中等

设i为虚数单位，则（1+i）⁶展开式中的第三项为（ ）
A．30i
B．-15i
C．30
D．-15

5. 难度：中等

设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：
①若α∥β，α∥γ，则β∥γ
②若α⊥β，m∥α，则m⊥β
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β
④若m∥n，n⊂α，则m∥α
其中真命题的序号是（ ）
A．①④
B．②③
C．②④
D．①③

6. 难度：中等

已知点A（0，b），B为椭圆+=1（a＞b＞0）的左准线与x轴的交点，若线段AB的中点C在椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知函数，f^-1（x）为f（x）的反函数，则函数y=|x|与y=f^-1（-x）在同一坐标系中的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在自然数1～22中，以22为分母，将其余的数作分子，得到若干个分数，现在从中任取1个，则分子与分母互质的分数的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是     ．

10. 难度：中等

在△ABC中，A+C=2B，BC=5，且△ABC的面积为，则 B=    ；AB=    ．

11. 难度：中等

已知函数那么不等式f（x）＜0的解集为    ．

12. 难度：中等

设不等式组所表示的平面区域为S，则S的面积为     ；若A、B为S内的两个点，则|AB|的最大值为     ．

13. 难度：中等

已知P，A，B，C是以O为球心的球面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=2，则球O的半径为    ；球心O到平面ABC的距离为    ．

14. 难度：中等

在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是     个．把符合条件的所有数按从小到大的顺序排列，则321是第     个数（用数字作答）．

三、解答题

15. 难度：中等

已知向量a=（cosx+2sinx，sinx），b=（cosx-sinx，2cosx），设函数f（x）=a•b．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的集合．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．
（I）求证：SB∥平面ACM；
（Ⅱ）求二面角D-AC-M的大小；
（Ⅲ）求证：平面SAC⊥平面AMN．

17. 难度：中等

某城市有30%的家庭订阅了A报，有60%的家庭订阅了B报，有20%的家庭同时订阅了A报和B报，从该城市中任取4个家庭．
（Ⅰ）求这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报的概率；
（Ⅱ）求这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报的概率；
（Ⅲ）求这4个家庭中恰好有2个家庭A，B报都没有订阅的概率．

18. 难度：中等

已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，△ABC的三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线l的方程为4x+y-20=0．
（I）求抛物线S的方程；
（II）若O是坐标原点，P、Q是抛物线S上的两动点，且满足PO⊥OQ．试说明动直线PQ是否过一个定点．

19. 难度：中等

设x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（I）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（II）若，求b的最大值；
（III）设函数g（x）=f'（x）-a（x-x₁），x∈（x₁，x₂），当x₂=a时，求证：．

20. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）满足：，，且对于任意实数x，y，总有f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）成立．
（I）求f（0）的值，并证明函数f（x）为偶函数；
（II）定义数列{a_n}：a_n=2f（n+1）-f（n）（n=1，2，3，…），求证：{a_n}为等比数列；
（III）若对于任意非零实数y，总有f（y）＞2．设有理数x₁，x₂满足|x₁|＜|x₂|，判断f（x₁）和f（x₂）的大小关系，并证明你的结论．