《第2章 数列》2010年单元测试卷（3）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

数列…，的前n项和为（ ）
A．2ⁿ⁺²-2^-n-1
B．2ⁿ⁺²-2^-n-3
C．2ⁿ⁺²+2^-n-1
D．2ⁿ⁺²-2^-n-1-1

2. 难度：中等

设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，且a₃+a₇=10，则S₉=（ ）
A．45
B．50
C．55
D．90

3. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，a₁+a₃+a₅=15，a₄=7，则s₆的值为（ ）
A．30
B．35
C．36
D．24

4. 难度：中等

等差数列a_n中，若a₁，a₂₀₁₁为方程x²-10x+16=0的两根，则a₂+a₁₀₀₆+a₂₀₁₀等于（ ）
A．10
B．15
C．20
D．40

5. 难度：中等

数列{a_n}，a₁=1，a_n+a_n+1=2n，则数列{a_n+1-a_n}的前10项和T₁₀=（ ）
A．0
B．5
C．10
D．20

6. 难度：中等

在等比数列a_n，，则首项a₁=（ ）
A．
B．-1
C．或2
D．

7. 难度：中等

若等比数列{a_n}的前n项和为S_n=3ⁿ⁺¹+a，则常数a的值等于（ ）
A．
B．-1
C．
D．-3

8. 难度：中等

数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N^*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列．设数列{b_n}的前n项和为T_n，且b_n=，则对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828…）和任意正整数n，T_n＜（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

若数列{a_n}的前n项和S_n=3ⁿ⁺¹-a，那么要使{a_n}为等比数列，实数a的值为（ ）
A．3
B．0
C．-3
D．不存在

10. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₁=2，公差d≠0，且a₁、a₃、a₁₁恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列的公比为（ ）
A．2
B．
C．
D．4

11. 难度：中等

数列{a_n}中，a₂=2，a₆=0且数列{}是等差数列，则a₄=（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中a₂=2，则其前3项的积T₃的取值范围是（ ）
A．（-∞，4]
B．（-∞，8]
C．[4，+∞）
D．[8，+∞）

13. 难度：中等

公差不为零的等差数列{a_n}中，2a₃-a₇²+2a₁₁=0，数列{b_n}是等比数列，且b₇=a₇则b₆b₈=（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16

二、填空题

14. 难度：中等

已知1，a₁，a₂，4成等差数列，1，b₁，b₂，b₃，4成等比数列，则=    ．

15. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：，且a_n+2=（n∈N^*），则如图中前n行所有数的和S_n=    ．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N^*，且{a_n}中任意两项之和也是该数列中的一项．
（1）若a₁=4，则d的取值集合为    ；
（2）若a₁=2^m（m∈N^*），则d的所有可能取值的和为    ．

17. 难度：中等

在数列{x_n}中，已知x₁=x₂=1，x_n+2=x_n+1-x_n（n∈N），求得x₁₀₀=    ．

18. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数a、b∈R满足：f=af（b）+bf（a），f（2）=2，a_n=（n∈N^*），b_n=（n∈N^*），考察下列结论：
①f（0）=f（1）；
②f（x）为偶函数；
③数列{b_n}为等差数列；
④数列{a_n}为等比数列，
其中正确的是    ．（填序号）

19. 难度：中等

数列a_n满足，则a₃₆=    ．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=1，（n≥2，n∈N），其通项公式a_n=    ．

三、解答题

21. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{}为等差数列；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，证明S_n＜n-ln（n+1）；
（Ⅲ）设b_n=a_n（）ⁿ，证明：对任意的正整数n、m均有|b_n-b_m|＜．

22. 难度：中等

已知公比q为正数的等比数列a_n的前n项和为S_n，且5s₂=4s₄．
（Ⅰ）求q的值．
（Ⅱ）若b_n=q+s_n-1，（n≥2，n∈N^*）且数列b_n也为等比数列，求数列（2n-1）b_n的前n项和T_n．

23. 难度：中等

已知数列{a_n}满足，
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）是否存在实数t，使得数列是公差为-1的等差数列，若存在求出t的值，否则，请说明理由；
（3）记数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：．

24. 难度：中等

已知公差大于零的等差数列a_n的前n项和为S_n，且满足：a₃•a₄=117，a₂+a₅=22．
（1）求数列a_n的通项公式a_n；
（2）若数列b_n是等差数列，且，求非零常数c；
（3）若（2）中的b_n的前n项和为T_n，求证：．

25. 难度：中等

已知数列{a_n}是首项、公比都为q（q＞0且q≠1）的等比数列，b_n=a_nlog₄a_n（n∈N^*）．
（1）当q=5时，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）当q=时，若b_n＜b_n+1，求n最小值．

26. 难度：中等

数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a₁，a₂，a₃成公比不为1的等比数列．
（1）求c的值；
（2）求{a_n}的通项公式．

27. 难度：中等

数列a_n中，a₁=-3，a_n=2a_n-1+2ⁿ+3（n≥2且n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）设，证明{b_{n ^}}是等差数列；
（3）求数列{a_n^}的前n项和S_n．

28. 难度：中等

已知函数f（x）=（x-1）²，g（x）=k（x-1），函数f（x）-g（x）其中一个零点为5，数列{a_n}满足，且（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）求S{a_n}的最小值（用含有n的代数式表示）；
（3）设b_n=3f（a_n）-g（a_n+1），试探究数列{b_n}是否存在最大项和最小项？若存在求出最大项和最小项，若不存在，说明理由．

29. 难度：中等

设数列 {a_n}的前n项和为S_n，且 S_n=2a_n-1（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列 {na_n}的前n项和为T_n，对任意 n∈N^*，比较与 S_n的大小．

30. 难度：中等

已知数列{a_n}满足（n=1，2，3，…）
（1）求a₃，a₄，a₅，a₆的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_2n-1•a_2n，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求证T_n＜3．

31. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且（a-1）S_n=a（a_n-1）（a＞0）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证数列{a_n}是等比数列，并求a_n；
（Ⅱ）已知集合A={x|x²+a≤（a+1）x}，问是否存在实数a，使得对于任意的n∈N^*
都有S_n∈A？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

32. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=，且a_n+2=．
（I）求证：数列为等差数列；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）求下表中前n行所有数的和S_n．

33. 难度：中等

已知数列a_n的各项为正数，前n和为S_n，且．
（1）求证：数列a_n是等差数列；
（2）设，求T_n．

34. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足：a₁=8，a₅=0．数列{b_n}的前n项和为
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）令，试问：是否存在正整数n，使不等式b_nc_n+1＞b_n+c_n成立？若存在，求出相应n的值；若不存在，请说明理由．

35. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n=a_n-1+n（n≥2，n∈N^*）．且b_n=+λ为等比数列，
（Ⅰ）求实数λ及数列{b_n}、{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若S_n为{a_n}的前n项和，求S_n；
（Ⅲ）令c_n=，数列{c_n}前n项和为T_n．求证：对任意n∈N^*，都有T_n＜3．