2010-2011学年湖南师大附中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|y=}，B{x|y=lg（x-1）}，则A∩B=（ ）
A．∅
B．[2，+∞）
C．[1，+∞）
D．R

2. 难度：中等

下列命题错误的是（ ）
A．命题“若xy=0，则x，y中至少有一个为零”的否定是：“若xy≠0，则x，y都不为零”
B．对于命题p：∃x∈R，使得x²+x+1＜0；则¬p：∀x∈R，均有x²+x+1≥0
C．命题“若m＞0，则方程x²+x-m=0有实根”的逆否命题为“若方程x²+x-m=0无实根，则m≤0
D．“x=1”是“x²-3x+2=0”的充分不必要条件

3. 难度：中等

已知∠ABC=90°，PA⊥面ABC，若PA=AB=BC=1，E为PC的中点，则异面直线BE与AC所成的角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

4. 难度：中等

已知在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形
B．正三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形

5. 难度：中等

已知函数f（x）=若f（a）=，则a=（ ）
A．-1
B．
C．-1或
D．1或

6. 难度：中等

f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（ ）
A．af（b）≤bf（a）
B．bf（a）≤af（b）
C．af（a）≤f（b）
D．bf（b）≤f（a）

7. 难度：中等

若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）且x∈（-1，1]时f（x）=1-x²，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，10]内零点的个数为（ ）
A．12
B．14
C．13
D．8

8. 难度：中等

给出下列命题：①存在实数x，使得；②函数y=sinx的图象向右平移个单位，得到的图象；③函数是偶函数；④已知α，β是锐角三角形ABC的两个内角，则sinα＞cosβ．其中正确的命题的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

二、填空题

9. 难度：中等

若函数f（x）=3cos（ωx+θ）对任意的x都有f（+x）=f（-x），则f（）等于    

10. 难度：中等

若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是    ．

11. 难度：中等

已知x，y满足不等式组，则（x+2）²+y²的最小值为    ．

12. 难度：中等

由曲线y=3-x²和y=2x围成图形的面积为    ．

13. 难度：中等

不等式在[-1，1]上恒成立，]则a的取值范围是     ．

14. 难度：中等

某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有A，B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A项技术指标达标的概率为，有且仅有一项指标达标的概率为．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品，则一个零件经过检测为合格品的概率是    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=x[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如：[-2.1]=-3，[-3]=-3，[2.2]=2，若x∈[0，n]（n∈N*）则f（x）的值域为     ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知，p={x|x²-8x-20≤0}，S={x||x-1|≤m}
（1）若p∪S⊆p，求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使“x∈p”是“x∈S”的充要条件，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

17. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前3项和为3，前6项和为24，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，求证：．

18. 难度：中等

如图，港口B在港口O正东120海里处，小岛C在港口O北偏东60°方向，港口B的北偏西30°方向上，一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°即OA方向以20海里/小时的速度驶离港口O，一艘快艇从港口B出发，以60海里/小时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，问快艇离港口B后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？

19. 难度：中等

如图，O是直角坐标原点，A、B是抛物线y²=2px（p＞0）上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，OM⊥AB并与AB相交于点M，求M点的轨迹方程．

20. 难度：中等

已知函数f （x）=．
（1）判断函数f （x）在区间（0，+∞）上的单调性，并加以证明；
（2）如果关于x的方程f （x）=kx²有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-ax（e为自然对数的底数）
（1）若f（x）≥1在x∈R上恒成立，求实数a的值；
（2）若n∈N^*，证明：