2009-2010学年山东省临沂市罗庄区补习学校高三（上）数学寒假作业（1）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O（0，0），若，则的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

为了得到函数y=sin（2x-）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（ ）
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度

3. 难度：中等

已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（ ）
A．9
B．7
C．5
D．3

4. 难度：中等

函数f（x）=2^x与g（x）=-2^-x的图象关于（ ）
A．x轴对称
B．y轴对称
C．原点对称
D．直线y=x对称

5. 难度：中等

如果实数x、y满足条件，那么2x-y的最大值为（ ）
A．2
B．1
C．-2
D．-3

6. 难度：中等

给出如下四个命题：
①对于任意一条直线a，平面α内必有无数条直线与a垂直；
②若α、β是两个不重合的平面，l、m是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是l⊥α，m⊥β，且l∥m；
③已知a、b、c、d是四条不重合的直线，如果a⊥c，a⊥d，b⊥c，b⊥d，则“a∥b”与“c∥d”不可能都不成立；
④已知命题P：若四点不共面，那么这四点中任何三点都不共线．
则命题P的逆否命题是假命题上命题中，正确命题的个数是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．4

7. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+3x²+9x+a（a为常数），在区间[-2，2]上有最大值20，那么此函数在区间[-2，2]上的最小值为（ ）
A．-37
B．-7
C．-5
D．-11

8. 难度：中等

若直线ax+2by-2=0（a，b∈（0，+∞）平分圆x²+y²-4x-2y-6=0，则+的最小值是（ ）
A．4
B．3+2
C．2
D．5

9. 难度：中等

已知数列{a_n}是正项等比数列，{b_n}是等差数列，且a₆=b₇，则一定有（ ）
A．a₃+a₉≤b₄+b₁₀
B．a₃+a₉≥b₄+b₁₀
C．a₃+a₉＞b₄+b₁₀
D．a₃+a₉＜b₄+b₁₀

10. 难度：中等

已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③m⊂α，n⊂α，m、n是异面直线，那么n与α相交；
④若α∩β=m，n∥m，且n⊂α，n⊂β，则n∥α且n∥β．
其中正确的命题是（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④

11. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）、g（x）满足，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），．则有穷数列{}（ n=1，2，3，…，10）的前n项和大于的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知抛物线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{a_n}是公比为q的无穷等比数列，下列{a_n}的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第    组．（写出所有符合要求的组号）
①S₁与S₂；②a₂与S₃；③a₁与a_n；④q与a_n．（其中n为大于1的整数，S_n为{a_n}的前n项和．）

14. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长1，顶点A、B、C、D在半球的底面内，顶点A₁、B₁、C₁、D₁在半球球面上，则此半球的体积是    ．

15. 难度：中等

已知a_n=n，把数列{a_n}的各项排列成如右侧的三角形状：记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，2）=    ．

16. 难度：中等

在正方体的8个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几何图形的4个顶点，这些几何图形是    ．（写出所有正确结论的编号）．
①梯形；
②矩形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
④每个面都是等边三角形的四面体；
⑤每个面都是等腰直角三角形的四面体．

三、解答题

17. 难度：中等

已知tan（α+）=-3，α∈（0，）．
（1）求tanα的值；
（2）求sin（2α-）的值．

18. 难度：中等

{a_n}是首项为，公比的等比数列，设，数列{c_n}满足．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

19. 难度：中等

某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB至少长2.8m，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5m，∠BCD=60°，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计AB，CD的长，可使建造这个支架的成本最低？

20. 难度：中等

如图，直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°AB=2AD=2CD=2．
（1）求证：AC⊥平面BB₁C₁C；
（2）在A₁B₁上是否存一点P，使得DP与平面BCB₁与平面ACB₁都平行？证明你的结论．

21. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间及其极值；
（Ⅱ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．

22. 难度：中等

已知椭圆的两个焦点为F₁，F₂，椭圆上一点M满足．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线L：y=与椭圆恒有不同交点A、B，且（O为坐标原点），求k的范围．