《2.3 数学归纳法》2011年同步练习（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

对某班60名同学的一次数学测验成绩进行统计，如果频数分布直方图中80.5～90.5分这一组的频数是18，那么这个班的学生这次数学测验成绩在80.5～90.5分之间的频率是（ ）
A．0.8
B．0.4
C．0.35
D．0.3

2. 难度：中等

用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（ ）
A．2^k-1
B．2^k-1
C．2^k
D．2^k+1

3. 难度：中等

某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N^*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立．现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（ ）
A．当n=6时，该命题不成立
B．当n=6时，该命题成立
C．当n=4时，该命题不成立
D．当n=4时，该命题成立

4. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，a_n+1=2a_n+a_n-1（n∈N^*），用数学归纳法证明a_4n能被4整除，假设a_4k能被4整除，应证（ ）
A．a_4k+1能被4整除
B．a_4k+2能被4整除
C．a_4k+3能被4整除
D．a_4k+4能被4整除

5. 难度：中等

观察表如图：
设第n行的各数之和为S_n，则等于（ ）

A．2
B．3
C．4
D．5

二、填空题

6. 难度：中等

用数学归纳法证明3⁴ⁿ⁺²+5²ⁿ⁺¹（n∈N）能被14整除时，当n=k+1时，对于3^4（k+1）+2+5^2（k+1）+1应变形为    ．

7. 难度：中等

根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有    个点．

三、解答题

8. 难度：中等

在数列{a_n}中，已知a₁=a（a＞1），且（n∈N^*），求证：a_n＞1（n∈N^*）．

9. 难度：中等

已知数列{a_n}，a_n＞0，前n项和．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）猜想出通项a_n，并证明．

10. 难度：中等

平面内n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点．
（1）设这n条直线互相分割成f（n）条线段或射线，猜想f（n）的表达式并给出证明；
（2）求证：这n条直线把平面分成个区域．

11. 难度：中等

已知，n∈N^*，试比较与的大小，并且说明理由．