《第2章 点、直线、平面之间的位置关系》2010年单元测试卷（2）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如图BC是Rt△ABC的斜边，过A作△ABC所在平面a垂线AP，连PB、PC，过A作AD⊥BC于D，连PD，那么图中直角三角形的个数是（ ）

A．4个
B．6个
C．7个
D．8个

2. 难度：中等

直线a与平面a斜交，则在平面a内与直线a垂直的直线（ ）
A．没有
B．有一条
C．有无数条
D．a内所有直线

3. 难度：中等

已知直线a、b和平面M、N，且a⊥M，那么（ ）
A．b∥M⇒b⊥a
B．b⊥a⇒b∥M
C．N⊥M⇒a∥N
D．a⊄N⇒M∩N≠φ

二、填空题

4. 难度：中等

边长为a的正六边形ABCDEF在平面a内，PA⊥a，PA=a，则P到CD的距离为    ，P到BC的距离为    ．

5. 难度：中等

AC是平面a的斜线，且AO=a，AO与a成60°角，OCÌa，AA'⊥a于A'，∠A'OC=45°，则A到直线OC的距离是    ，∠AOC的余弦值是    ．

6. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，经过其对角线BD₁的平面分别与棱AA₁、CC₁相交于E，F两点，则四边形EBFD₁的形状为    

三、解答题

7. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求证：A₁C⊥平面BC₁D．

8. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求证：平面A₁BD∥平面B₁D₁C；
（2）若E、F分别是AA₁，CC₁的中点，求证：平面EB₁D₁∥平面FBD．

9. 难度：中等

如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．
求证：（1）线段MP和NQ相交且互相平分；
（2）AC∥平面MNP，BD∥平面MNP．

10. 难度：中等

四面体ABCD中，AC=BD，E，F分别为AD，BC的中点，且，∠BDC=90°，求证：BD⊥平面ACD．

11. 难度：中等

如图，P△ABC所在平面外一点，PA=PB，CB⊥平面PAB，M是PC中点，N是AB上的点，AN=3NB，
（1）求证：MN⊥AB；
（2）当∠PAB=90°，BC=2，AB=4时，求MN的长．

12. 难度：中等

如图，A，B，C，D四点都在平面a，b外，它们在a内的射影A₁，B₁，C₁，D₁是平行四边形的四个顶点，在b内的射影A₂，B₂，C₂，D₂在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形．

13. 难度：中等

如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点；
（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：MN⊥CD．

14. 难度：中等

如图，已知SA，SB，SC是由一点S引出的不共面的三条射线，∠ASC=∠ASB=45°，∠BSC=60°，∠SAB=90°，求证：AB⊥SC．