2009-2010学年贵州省黔西南州兴仁县巴铃中学高三（上）10月月考数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

把数列{2n+1}依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数…循环下去，如：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），…，则第14个括号内的各数字之和    ．

2. 难度：中等

已知，则函数u（x，y）=x²+y²取最大值时，x=    ，y=    ．

3. 难度：中等

一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数，那么积m•n是    ．

4. 难度：中等

已知函数①f（x）=3lnx；②f（x）=3e^cosx；③f（x）=3e^x；④f（x）=3cosx．其中对于f（x）定义域内的任意一个自变量x₁都存在唯一个个自变量x₂，使成立的函数序号是    ．

5. 难度：中等

函数，若f（1）+f（a）=1，则a的值为    ．

6. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足：a₁=-2，a₂=0．若将a₁，a₄，a₅都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为    ．

7. 难度：中等

已知曲线y=xⁿ-1在点（1，0）处的切线与直线2x-y+1=0平行，则n=    ．

8. 难度：中等

口袋里有3个红球，2个白球，质地均匀，形状完全相同，从中任意摸出两个球，两个都是红球的概率     ．

9. 难度：中等

棱锥的高为16cm，底面积为512cm²，平行于底面的截面积为50cm²，则截面与底面的距离为    ．

10. 难度：中等

如果球的内接正方体的表面积为24，那么球的体积等于    ．

11. 难度：中等

正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2：3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为    ．

12. 难度：中等

棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若E，F分别为AA₁，C₁D₁的中点，G是正方形BCC₁B₁的中心，则空间四边形AEFG在该正方体的面上的正投影的面积最大值为    ．

二、解答题

13. 难度：中等

一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V与x的函数关系式，并求出函数的定义域．

14. 难度：中等

已知直线x+ky-3=0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知圆O：x²+y²=1，直线l：mx+ny=1．试证明：当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围．

15. 难度：中等

已知平面向量，
（1）证明：；
（2）若存在实数k和t，满足，，且，试求出k关于t的关系式，即k=f（t）；
（3）根据（2）的结论，试求出函数k=f（t）在t∈（-2，2）上的最小值．

16. 难度：中等

如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，且，又PA⊥平面ABCD，AD=3AB=3PA=3a，
（I）求二面角P-CD-A的正切值；
（II）求点A到平面PBC的距离．

17. 难度：中等

定义在R上的函数f （x）满足：如果对任意x₁，x₂∈R，都有，则称函数f （x）是R上的凹函数，已知二次函数f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0），
（1）当a=1时，试判断函数f （x）是否为凹函数，并说明理由；
（2）如果函数f （x）对任意的x∈[0，1]时，都有|f（x）|≤1，试求实数a的范围．

18. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）=x²（ax-3），其中a为常数．
（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）若函数f（x）在区间（-1，0）上是增函数，求a的取值范围；
（3）若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围．