2010-2011学年陕西省西安市八校联考高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合S={x∈N|-2＜x-1＜4，且x≠1}，则集合S的真子集的个数是（ ）
A．32
B．31
C．16
D．15

2. 难度：中等

复数z₁=3+i，z₂=1-i则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

若x，y∈R，则下列命题中，甲是乙的充分不必要条件的是（ ）
A．甲：xy=0，乙：x²+y²=0
B．甲：xy=0，乙：|x|+|y|=|x+y|
C．甲：xy=0，乙：x，y至少有一个为零
D．甲：x＜y，乙：

4. 难度：中等

函数y=3x²+2（a-1）x+b在区间（-∞，1）上是减函数，那么（ ）
A．a∈（-∞，-1）
B．a=2
C．a≤-2
D．a≥2

5. 难度：中等

如果执行程序框图，那么输出的S=（ ）

A．2450
B．2500
C．2550
D．2652

6. 难度：中等

给出五个数据90，90，93，94，93，则这五个数据的平均值和方差分别为（ ）
A．92，2
B．92，2.8
C．93，2
D．93，2.8

7. 难度：中等

一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均为直角三角形，边长如图所示，那么这个几何体的体积为（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

已知f（x）=2+log₃x（1≤x≤9），则函数y=[f（x）]²+f（x²）的最大值为（ ）
A．6
B．13
C．22
D．33

9. 难度：中等

已知直线l的倾斜角为π，直线l₁经过点A（3，2）、B（a，-1），且l₁与l垂直，直线l₂：2x+by+1=0与直线l₁平行，则a+b等于（ ）
A．-4
B．-2
C．0
D．2

10. 难度：中等

若指数函数y=a^x在[-1，1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知变量x、y满足，则x+y的最小值是    ．

12. 难度：中等

若a，b，c成等比数列，则函数f（x）=ax²+bx+c的图象与x轴的交点个数是    ．

13. 难度：中等

已知向量=（x，-2），=（3，6），且共线，则的值为    ．

14. 难度：中等

设函数，则实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

A（不等式选做题）若x＞0，y＞0且x+2y=1，则的取值范围是    ．
B（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则线段DO的长等于    ．
C（坐标系与参数方程选做题）曲线（θ为参数）上一点P，过点A（-2，0） B（0，2）的直线记为L，则点P到直线L距离的最小值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

数列{b_n}（n∈N^*）是递增的等比数列，且b₁+b₃=5，b₁b₃=4．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a_n=log₂b_n+3，求证数列{a_n}是等差数列；
（Ⅲ）若a₁+a₂+a₃+…+a_m≤a₄₀，求m的最大值．

17. 难度：中等

已知，求f（x）的最小正周期和它的单调增区间．

18. 难度：中等

如图所示，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．求证：MN∥平面DAE；
（2）求证：AE⊥BE．

19. 难度：中等

甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．
（Ⅰ）分别求甲、乙两人考试合格的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．

20. 难度：中等

如图，等腰梯形ABCD中，线段Ab的中点O是抛物线的顶点，DA、AB、BC分别与抛物线切于点M、O、N．等腰梯形的高是3，直线CD与抛物线相交于E、F两点，线段EF的长是4．
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求抛物线的方程；
（Ⅱ）求等腰梯形ABCD的面积的最小值，并确定此时M、N的位置．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+3x²-6ax-11，g（x）=3x²+6x+12，和直线m：y=kx+9，又f′（-1）=0．
（1）求a的值；
（2）是否存在k的值，使直线m既是曲线y=f（x）的切线，又是曲线y=g（x）的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．