2004年第一届中国东南地区高中数学奥林匹克试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设实数a、b、c满足a²+2b²+3c²=，求证：3^-a+9^-b+27^-c≥1．

2. 难度：中等

设D是△ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N．如果DE=DF，求证：DM=DN．

3. 难度：中等

（1）是否存在正整数的无穷数列{a_n}，使得对任意的正整数n都有a_n+1²≥2a_na_n+2．
（2）是否存在正无理数的无穷数列{a_n}，使得对任意的正整数n都有a_n+1²≥2a_na_n+2．

4. 难度：中等

抽取某校学生的一个容量为150的样本，测得学生身高后，得到身高频数分布直方图如图所示，已知该校有学生1500名，则可以估计出该校身高位于160 cm至165cm之间大约有______人．

5. 难度：中等

已知不等式-2sin2θ＜3a+6对于恒成立，求a的取值范围．

6. 难度：中等

设点D为等腰△ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在△ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的圆与边AB交于点E．求证：CD•EF+DF•AE=BD•AF．

7. 难度：中等

n支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛．但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛．如果4周内能够完成全部比赛，求n的最大值．
注：A、B两队在A方场地举行的比赛，称为A的主场比赛，B的客场比赛．

8. 难度：中等

求满足，且1≤x、y、z、u≤10的所有四元有序整数组（x，y，z，u）的个数．