2010-2011学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x≥-1}，B={x|x＜3}，那么集合A∩B=（ ）
A．{x|-1≤x＜3}
B．{x|-1＜x＜3}
C．{x|x＜-1}
D．{x|x＞3}

2. 难度：中等

下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（ ）
A．y=lg
B．y=cos
C．y=|x|
D．y=sin

3. 难度：中等

若a＞b，则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．a³＞b³
C．a²＞b²
D．a＞|b|

4. 难度：中等

命题“若a＞b，则a+1＞b”的逆否命题是（ ）
A．若a+1≤b，则a＞b
B．若a+1＜b，则a＞b
C．若a+1≤b，则a≤b
D．若a+1＜b，则a＜b

5. 难度：中等

设{a_n}是等差数列，若a₂=4，a₅=7，则数列{a_n}的前10项和为（ ）
A．12
B．60
C．75
D．120

6. 难度：中等

阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（ ）
A．（-∞，-2]
B．[-2，-1]
C．[-1，2]
D．[2，+∞）

7. 难度：中等

如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A'-BCD，使平面A'BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是（ ）

A．A'C⊥BD
B．∠BA'C=90°
C．△A'DC是正三角形
D．四面体A'-BCD的体积为

8. 难度：中等

设函数，的零点分别为x₁，x₂，则（ ）
A．0＜x₁x₂＜1
B．x₁x₂=1
C．1＜x₁x₂＜2
D．x₁x₂≥2

二、填空题

9. 难度：中等

i为虚数单位，则=    ．

10. 难度：中等

已知||=||=1，，则平面向量与夹角的大小为    ．

11. 难度：中等

若实数x，y满足条件则2x+y的最大值为    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，若，，则c=    ．

13. 难度：中等

已知双曲线的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y²=8x的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为    ；渐近线方程为    ．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|为两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：
①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；
②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；
③到M（-1，0），N（1，0）两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；
④到M（-1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．
其中正确的命题是    ．（写出所有正确命题的序号）

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求f（x）的最大值和最小值．

16. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，D为BC中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求证：C₁A⊥B₁C．

17. 难度：中等

对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

分组	频数	频率
[10，15）	10	0.25
[15，20）	24	n
[20，25）	m	p
[25，30）	2	0.05
合计	M	1

（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值；
（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；
（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率．

18. 难度：中等

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（1，0），且长轴长是短轴长的倍．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，椭圆C与直线y=kx+1相交于两个不同的点A，B，线段AB的中点为P，若直线OP的斜率为-1，求△OAB的面积．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=x²-2x+2，若对任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的首项为1，对任意的n∈N^*，定义b_n=a_n+1-a_n．
（Ⅰ） 若b_n=n+1，求a₄；
（Ⅱ） 若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=a，b₂=b（ab≠0）．
（ⅰ）当a=1，b=2时，求数列{b_n}的前3n项和；
（ⅱ）当a=1时，求证：数列{a_n}中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次．