2010-2011学年广东省韶关市北江中学高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合M={x|y=}，则C_UM=（ ）
A．{x|x≥1}
B．{x|x＜1}
C．{x|x≥0}
D．{x|x＜0}

2. 难度：中等

设z₁=1-i，z₂=a+2ai（a∈R），其中i是虚数单位，若复数z₁+z₂是纯虚数，则有（ ）
A．a=1
B．a=
C．a=0
D．a=-1

3. 难度：中等

经过圆x²+2x+y²=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（ ）
A．x+y+1=0
B．x+y-1=0
C．x-y+1=0
D．x-y-1=0

4. 难度：中等

已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A等于（ ）
A．135°
B．45°
C．135°或45°
D．60°

5. 难度：中等

如图是某几何体的三视图，其中俯视图和侧视图是半径为1的半圆，主视图是个圆，则该几何体的全面积是（ ）

A．π
B．2π
C．3π
D．4π

6. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，且a₁+a₇+a₁₃=4π，则tan（a₂+a₁₂）的值为（ ）
A．-
B．
C．
D．-

7. 难度：中等

对任意非零实数a、b，定义一种运算：a⊗b，其结果y=a⊗b的值由如图确定，则=（ ）

A．1
B．
C．
D．

8. 难度：中等

下列命题中的假命题 是（ ）
A．∃x∈R，x³＜0
B．“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件
C．∀x∈R，2^x＞0
D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题

9. 难度：中等

下列函数中既是奇函数，又在区间[-1，1]上单调递减的函数是（ ）
A．f（x）=sin
B．f（x）=-|x+1|
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+3）=f（x+1）且当x∈[-1，1]时，f（x）=x²，则y=f（x）与y=log₇x的图象的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

二、填空题

11. 难度：中等

已知平面向量，，若，则实数m等于    ．

12. 难度：中等

某射击运动员在四次射击中分别打出了10，x，10，8环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的方差是    ．

13. 难度：中等

已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为    ．

14. 难度：中等

如果实数x，y满足，对任意的正数a，b，不等式ax+by≤1恒成立，则a+b的取值范围是    ．

15. 难度：中等

以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆C极坐标方程是ρ=4cosθ直线l（t参数），圆心C到直线l的距离等于    ．

16. 难度：中等

如图，⊙O的半径R=5，P是弦BC延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为A，若PC=1，PA=3，则圆心O到弦BC的距离是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数，．
（1）若，求函数f（x）的值；
（2）求函数f（x）的最小值并求相应的x的值．

18. 难度：中等

调查某初中1000名学生的肥胖情况，得下表：

	偏瘦	正常	肥胖
女生（人）	100	173	y
男生（人）	x	177	z

已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15．
（Ⅰ）求x的值；
（Ⅱ）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取50名，问应在肥胖学生中抽多少名？
（Ⅲ）已知y≥193，z≥193，肥胖学生中男生不少于女生的概率．

19. 难度：中等

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=1，AD=2，E是BC的中点．
（Ⅰ）求证：直线BB₁∥平面D₁DE；
（Ⅱ）求证：平面A₁AE⊥平面D₁DE；
（Ⅲ）求三棱锥A-A₁DE的体积．

20. 难度：中等

已知离心率为的椭圆C₁的顶点A₁，A₂恰好是双曲线的左右焦点，点P是椭圆上不同于A₁，A₂的任意一点，设直线PA₁，PA₂的斜率分别为k₁，k₂．
（Ⅰ）求椭圆C₁的标准方程；
（Ⅱ）试判断k₁•k₂的值是否与点P的位置有关，并证明你的结论；
（Ⅲ）当时，圆C₂：x²+y²-2mx=0被直线PA₂截得弦长为，求实数m的值．
设计意图：考察直线上两点的斜率公式、直线与圆相交、垂径定理、双曲线与椭圆的几何性质等知识，考察学生用待定系数法求椭圆方程等解析几何的基本思想与运算能力、探究能力和推理能力．第（Ⅱ）改编自人教社选修2-1教材P39例3．

21. 难度：中等

已知数列b_n前n项和．数列a_n满足（n∈N^*），数列c_n满足c_n=a_nb_n．
（1）求数列a_n和数列b_n的通项公式；
（2）求数列c_n的前n项和T_n；
（3）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总存在极值？
（Ⅲ）当a=2时，设函数，若在区间[1，e]上至少存在一个x，使得h（x）＞f（x）成立，试求实数p的取值范围．