2010-2011学年上海市闸北区高三（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知z和都是纯虚数，那么z=    ．

2. 难度：中等

函数y=sinx+cosx，x∈R的单调递增区间是    ．

3. 难度：中等

某高中共有在读学生430人，其中高二160人，高一人数是高三人数的2倍．为了解学生身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高二学生32人，则该样本中的高三学生人数为    ．

4. 难度：中等

在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标为    ．（写出一个即可）

5. 难度：中等

下列三个命题：①若，则；  ②若，，则；③若，则．其中真命题有    ．（写出所有真命题的序号）

6. 难度：中等

有一公园的形状为△ABC，测得千米，AB=1千米，∠B=60°，则该公园的占地面积为    平方千米．

7. 难度：中等

设一个正方体的各个顶点都在一个表面积为12π的球面上，则该正方体的体积为    ．

8. 难度：中等

设f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，若函数f（x）+g（x）的值域为[1，3），则f（x）-g（x）的值域为    ．

9. 难度：中等

甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，记抽取到红球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ=    ．

10. 难度：中等

若函数f（x）=2^|x-3|-og_ax+1无零点，则a的取值范围为    ．

11. 难度：中等

设log_ax=log_by=2，a+b=2，则x+y的取值范围为    ．

二、选择题

12. 难度：中等

设a，b∈R，则“a＞b”是“a³＞b³”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．不充分也不必要条件

13. 难度：中等

以下四个命题：①正棱锥的所有侧棱相等；②直棱柱的侧面都是全等的矩形；③圆柱的母线垂直于底面；④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形．其中，真命题的个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

14. 难度：中等

一林场现有树木两万棵，计划每年先砍伐树木总量的10%，然后再种植2500棵树．经过若干年如此的砍伐与种植后，该林场的树木总量大体稳定在（ ）
A．18000颗
B．22000颗
C．25000颗
D．28000颗

15. 难度：中等

已知A（2，-1），B（-1，1），O为坐标原点，动点P满足，其中m、n∈R，且2m²-n²=2，则动点P的轨迹是（ ）
A．焦距为的椭圆
B．焦距为的椭圆
C．焦距为的双曲线
D．焦距为的双曲线

三、解答题

16. 难度：中等

设函数f（x）=log₂（2^x+1），x∈R．
（1）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）解不等式2f（x）≤f^-1（x+log₂5）．

17. 难度：中等

某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a（3≤a≤5）元的管理费，预计当每件产品的售价为x（9≤x≤11）元时，一年的销售量为（12-x）²万件．
（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）．

18. 难度：中等

如图，平面α上定点F到定直线l的距离FA=2，曲线C是平面α上到定点F和到定直线l的距离相等的动点P的轨迹． 设FB⊥α，且FB=2．
（1）若曲线C上存在点P，使得PB⊥AB，试求直线PB与平面α所成角θ的大小；
（2）对（1）中P，求点F到平面ABP的距离h．

19. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=5，a_n+1=3a_n-4n+2，其中n∈N^*．
（1）设b_n=a_n-2n，求数列{b_n}的通项公式；
（2）记数列{a_n}的前n项和为S_n，试比较S_n与n²+2011n的大小．

20. 难度：中等

在△ABC中，A、B为定点，C为动点，记∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知c=2，且存在常数λ
（λ＞0），使得．
（1）求动点C的轨迹，并求其标准方程；
（2）设点O为坐标原点，过点B作直线l与（1）中的曲线交于M，N两点，若OM⊥ON，试确定λ的范围．