2010-2011学年广东省实验中学、华师附中、广雅中学、深圳中学四校联考高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U={1，3，5，7，9}，集合A={1，|a-5|，9}，∁_UA={5，7}，则实数a的值是（ ）
A．2
B．8
C．-2或8
D．2或8

2. 难度：中等

在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

某简单几何体的三视图如图所示，其正视图．侧视图．俯视图均为直角三角形，面积分别是1，2，4，则这个几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．8
D．4

4. 难度：中等

设S_n为等比数列{a_n}的前n项和，已知3S₃=a₄-2，3S₂=a₃-2，则公比q=（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

5. 难度：中等

过圆x²+y²=4外一点P（4，2）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆方程是（ ）
A．（x-4）²+（y-2）²=1
B．x²+（y-2）²=4
C．（x+2）²+（y+1）²=5
D．（x-2）²+（y-1）²=5

6. 难度：中等

右图是把二进制数11111_（2）化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ）
A．i＞4
B．i≤4
C．i＞5
D．i＜=5

7. 难度：中等

如果函数f（x）在区间D上是“凸函数”，则对于区间D内任意的x₁，x₂，…，x_n，有≤f（）成立．已知函数y=sinx在区间[0，π]上是“凸函数”，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设θ是三角形的一个内角，且，则方程x²sinθ-y²cosθ=1表示的曲线是（ ）
A．焦点在x轴上的双曲线
B．焦点在x轴上的椭圆
C．焦点在y轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的椭圆

9. 难度：中等

已知平面上直线l的方向向量，点O（0，0）和P（-2，2）在直线l的正射影分别是O'和P'，且，则λ等于（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若对于任意的x∈[a，b]，函数f（x），g（x）总满足，则称在区间[a，b]上，g（x）可以代替f（x）．若，则下列函数中，可以在区间[4，16]上代替f（x）的是（ ）
A．g（x）=x-2
B．
C．
D．g（x）=2x-6

二、填空题

11. 难度：中等

期末考试后，班长算出了全班50名同学的数学成绩的平均分为，方差为s₁²．如果把当成一个同学的分数，与原来的50个分数一起，算出这51个分数的方差为s₂²，那么=    ．

12. 难度：中等

若关于x的方程|a^x-1|=2a，（a＞0，a≠1）有两个不相等实数根，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=7，b=8，c=9，则AC边上的中线长为    ．

14. 难度：中等

在极坐标系中，点A在曲线上，点B在直线ρcosθ=-1上，则|AB|的最小值是    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）
如图，已知PA与圆O相切于A，半径OC⊥OP，AC交PO于B，OC=1，OP=2，则PB=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量，，函数
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若0≤x≤π，求f（x）的最大值和最小值．

17. 难度：中等

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分别是棱AB，CC₁，D₁A₁，BB₁的中点．
（1）证明：FH∥平面A₁EG；
（2）证明：AH⊥EG；
（3）求三棱锥A₁-EFG的体积．

18. 难度：中等

已知函数，其中a，b为常数．
（1）当a=6，b=3时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若任取a∈[0，4]，b∈[0，3]，求函数f（x）在R上是增函数的概率．

19. 难度：中等

某单位为解决职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A（m²）的宿舍楼．已知土地的征用费为2388元/m²，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍．经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用都为445元/m²，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m²．试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最小，并求出其最小费用．（总费用为建筑费用和征地费用之和）

20. 难度：中等

设F（1，0），M点在x轴的负半轴上，点P在y轴上，且．
（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；
（2）若A（4，0），是否存在垂直x轴的直线l被以AN为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

设函数，方程x=f（x）有唯一解，其中实数a为常数，，f（x_n）=x_n+1（n∈N^*）
（1）求f（x）的表达式；
（2）求x₂₀₁₁的值；
（3）若且，求证：b₁+b₂+…+b_n＜n+1．