2009-2010学年数学寒假作业（05）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若集合A={x|x²+（k-3）x+k+5=0，x∈R}，A∩R⁺≠Φ，则实数k的取值范围为    ．

2. 难度：中等

若（a-2i）i=b-i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a+b=    ．

3. 难度：中等

若不等式：＞ax+的解集是非空集合{x|4＜x＜m}，则a+m=    ．

4. 难度：中等

{a_n}是等差数列，a₂=-1，a₈=5，则数列{a_n}的前9项和S₉=    ．

5. 难度：中等

设P为圆x²+y²=1上的动点，则点P到直线3x-4y-10=0的距离的最小值为    ．

6. 难度：中等

过点A（4，-1）和双曲线-=1右焦点的直线方程为    ．

7. 难度：中等

D为△ABC的BC边的中点，若=p+q，则p+q=    ．

8. 难度：中等

若y=f（x）为定义在D上的函数，则“存在x∈D，使得[f（-x）]²≠[f（x）]²”是“函数y=f（x）为非奇非偶函数”的    条件．

9. 难度：中等

一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高．现用水将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计），则球取出后，容器中水面的高度为    cm．

10. 难度：中等

某班级在一次身高测量中，第一小组10名学生的身高与全班学生平均身高170 cm的差分别是-4，-7，-8，-2，1，-10，15，10，7，-2．则这个小组10名学生的平均身高是    cm．

11. 难度：中等

如果执行如图的程序框图，那么输出的s是    ．

12. 难度：中等

若a＞0且a≠1，函数y=|a^x-1|与y=2a的图象有两个交点，则a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=的值域是[0，+∞]，则实数m的取值范围是    ．

14. 难度：中等

定义函数f（x）=，给出下列四个命题：
（1）该函数的值域为[-1，1]；
（2）当且仅当x=2kπ+（k∈Z）时，该函数取得最大值；
（3）该函数是以π为最小正周期的周期函数；
（4）当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+（k∈Z）时，f（x）＜0．上述命题中正确的个数是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

观察数列：
①1，-1，1，-1，…；
②正整数依次被4除所得余数构成的数列1，2，3，0，1，2，3，0，…；
③a_n=tan，n=1，2，3，…
（1）对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周期数列的定义：对于数列{a_n}，如果______，对于一切正整数n都满足______成立，则称数列{a_n}是以T为周期的周期数列；
（2）若数列{a_n}满足a_n+2=a_n+1-a_n，n∈N^*，S_n为{a_n}的前n项和，且S₂=2008，S₃=2010，证明{a_n}为周期数列，并求S₂₀₀₈；
（3）若数列{a_n}的首项a₁=p，p∈[0，），且a_n+1=2a_n（1-a_n），n∈N^*，判断数列{a_n}是否为周期数列，并证明你的结论．

16. 难度：中等

用数学归纳法证明4²ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺²能被13整除，其中n∈N^*．